كيف تطور نفسك في الرياضيات ؟
سأقترح عليك عدة نقاط إذا وجدت نفسك قادراً عل فهمها أو تجاوزها فستكون مؤهل لأن تكون الرياضيات تخصصك ومادة محببة لك ، وهنا أعني أن توفر من وقتك ومجهودك لتعلم المزيد والمزيد في الرياضيات ولا تمل أبداً، بل تجد متعة كبيرة في تعلمك إياها. وإن لم تجد ذلك فأعتقد أنه سيكون لديك مواهب في مجالات أخرى وستكون مبدع فيها أكثر من الرياضيات .. فأنا ركزت على الرياضيات أكثر لأنها تتفق مع طريقة تفكيري وهي إلى حد ما تناسبني، ولذلك فقد لا تناسبك بما فيه الكفاية.. ربما أنت مبدع في مجال آخر .. على كل الحال النقاط الرئيسية هي :
• فكر بطريقة غير إعتيادية.
▬ بإمكانك التفكير في أشياء يعتبرها الكثيرون أنها بسيطة أو مؤلوفة بطريقة غير مألوفة! كقضية الكل والجزء أيهما أكبر ؟ وهل بالفعل يمكن أن يوجد شيء أكبر من شيء أم ان الاكبر والاصغر تطرا عليه عوامل زمنية ومكانية فقط، كأن نقول الشيء أكبر من شيء آخر في وقت محدد وزمان محدد.. ؟ مثل هذه الاسئلة هي اسئلة فلسفية تتطلب تفكير عميق وطرح المزيد و المزيد من الاسئلة (اسئلة العصف الذهني) وأعتقد أن مثل هذه الاسئلة ستكون مدخل جيد جداً للرياضيات والتي تبحث في الكم أصلاً (الكميات .. المقادير .. الكميات المتساوية .. الكميات المقارنة..إلخ) يمكنك أن تطرح على نفسك هذا السؤال: لماذا 1+1=2 ؟ وهل فعلاً يمكن ان يوجد الشيء بذاته ؟ هل يمكن أن نحصل على الشيء منفرداً ؟ فمثلاً إذا كان لدينا تفاحتين عددهم 2 فماذا نقصد بقولنا تفاحة+تفاحة=2 ؟ وما هي التفاحة أصلاً ؟ هل لها تعريف ؟ وهل التعريف هذا جامع مانع ؟ هل 2 تعني أن لدي شيء+شيء من نفس الجنس أو النوع ؟ هل يمكن ان تتعدد الأجناس أو الأنواع ؟ ,,,,,, كل هذه اسئلة تحتاج إلى بحث مطول وتفكير عميق جداً... مرة اخرى سأفترض أنني وزنت لك كيلو+كيلو عنب émoticône smile هل بالفعل يمكن أن تتساوي الكمية الأولى مع الكمية الثانية تماماً (أي في الواقع) ولاحظ عندما أقول تماماً فأنا آخذ في الحسبان الكميات المتناهية في الصغر، كأن تكون جزء من مليار مليار مليار مليجرام! أو أصغر من ذلك!! هل بالفعل هما 2 كليوجرام تماماً ؟ ام ينقصون عن ذلك أو يزيدون ولو بقليل ؟ ... هذه الاسئلة ومثيلتها جعلت علماء الرياضيات يقرون بأنه ليس من الضروري ان تطابق الرياضيات الواقع.. 1+1=2 هي عملية ذهنية مجردة وإنتهى الأمر !
▬ نموذج آخر : هل تحب ترتيب الأشياء ؟ هل تحب وضع الأشياء في ترتيب معين مع إختلاف الترتيب في كل مرة وتشاهد ماذا يحدث ؟ شاهد معي هذه الجملة : زيد ضرب على ... نقوم بتغيير الترتيب .. على ضرب زيد .. ألا تلاحظ أن عامل الترتيب هنا غير المعنى ؟ الأول تعني أن فعل الضرب وقع على علي (أي أن علي مفعول به) والثانية تعني أن فعل الضرب وقع على زيد (أي أن زيد مفعول به) وبالتالي تغير الترتيب هنا غير من الشخص الذي وقع عليه فعل الضرب (أي المفعول به).. مثال آخر : أحمد صديق محمد .. وبعد أن غيرنا الترتيب اصبحت .. محمد صديق أحمد .. هل اختلف المعنى ؟ الإجابة لا (رغم إختلاف الترتيب)، وبالتالي وجدنا نوع من الترتيب يعطيني نفس المعنى .. وهذا يعني أن الجملة الأولى تكافيء الجملة الثانية. مثال آخر : لديك زوج من الحذاء (فردة يمين وفردة شمال) سنعيد ترتيبهم بحيث يحل الحذاء الأيمين محل الحذاء الأيسر والعكس، هل تغير الوضع ؟ ... لا تستغرب من هذه الاسئلة والتي قد يعتبرها البعض أنها مجرد شذوذ فكري أو فذلكة فكرية .. لا الأمر ليس هكذا مطلقاً.. فالرياضيات تتطلب هذا النوع من التفكير .
▬ نموذج آخر : هل فكرت في احد المرات ما هو اصغر شيء ؟ وهل يمكن بالفعل أن نحصل على اصغر شيء أم يكفي أن نقول كمية متناهية في الصغر ؟ أو فكرت لمجرد التفكير في أكبر شيء ؟ أم هل يكفي أن نقول لانهاية..؟ هل سألت نفسك في أحد المرات ما هي النقطة ؟ هل وجدت تعريفاً صحيحاً لها ؟ ماذا نعني بقولنا أن القطعة المستقيمة تتكون من عدد لانهائي من النقاط ؟ ما الفرق بين النقاط التي تشكل خط مستقيم والنقاط التي تشكل منحنى أو دائرة ؟ هل يمكن لنقاط مربع أن تشكل نقاط دائرة في حالة تغير ترتيب (وضع) هذه النقاط أم أن هذا الأمر مستحيل ؟
• مرن نفسك على استعمال طريقة التفكير البنائية.
▬ التفكير البنائي يعتمد على الإستدلال. هو الذي تكون فيه كل فكرة مبنية على الفكرة أو مجموعة الافكار السابقة لها، وعندما أقول مرن نفسك على طريقة التفكير البنائي، أقصد أن تجعله يحتل جزء اساسي في عقلك الباطن، بحيث تؤديه بطريقة تلقائية فيما بعد. خذ مثال: مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة تحتوى على أعداد لا تقبل القسمة إلا على عددين متمايزين هما العدد نفسه والواحد. والآن إذا قلنا بأن الـ (2) لا تقبل القسمة إلا على نفسها والواحد فقط، ولكن هذه الصفة أو الخاصية هي نفس الخاصية التي تنطبق على مجموعة الأعداد الأولية، وبالتالي فإن 2 عنصر في مجموعة الأعداد الأولية، والنتيجة هي 2 عدد اولي. لاحظ مثل هذه الطرق التي قد يمل منها البعض فيراها رغم بساطتها انها مملة احياناً، لكنها من الضمن الطرق الأساسية التي تستعمل للإستدلال في الرياضيات، وهي تستعمل بكثرة، بل مستحيل ان تكون الرياضيات بدونها، وما وضعته مجرد مثال فقط، ولذلك يجب أن تمرن نفسك على جميع طرق الإستدلال الرياضياتي بحيث يحتل مكاناً كبيراً لديك.
▬ وكما ترى فالأمر لا يحتاج إلى تسرع، ومعظم ما كتبته لك ليس من الضروري أن تكتبه كله، ولكن الذي أعنيه أن طريقة التفكير الذهنية ستكون بهذه الطريقة.. طريقة كما ترى مرتبة، وتنتقل من فكرة إلى فكرة أخرى، أو من إستدلال إلى استدلال آخر. ولا تستهين بأي إستدلال كان حتى وإن كنت ترى أنه إستدلال بسيط، فأحياناً يقف حل مسالة معقدة على استدلال كان محل الغفلة أو النسيان (أي لم يكن على البال مطلقاً) ولذلك أدعوك ان ترتب أفكارك جيداً، حتى نخرج بنتائج جيدة بأحد طرق الإستدلال أو الإستنتاج الرياضياتي.
▬ نموذج آخر : (ولا تمل من سهولة الإستدلال أو التركيز على أشياء قد تراها بسيطة، فهذه هي الطرق التي تستعمل في الرياضيات وتكون في الغالب غير واضحة بذاتها). اذا قلت لك أن 1+1=2 نستدل بها أن 1+1+1 = 2+1 وهذا يعني أن : 1+1+1=3 (الذي حدث هنا أننا اضفنا 1 لطرفي المعادلة). نموذج آخر : اذا كانت س أكبر من ص عبارة صحيحة، فيكون الإستدلال ص أكبر من س عبارة خاطئة، مما يعني أن العبارة ونقضيها لا يجتمعان، أي لا يمكن أن تكون عبارة ما صحيحة وخاطئة في نفس الوقت، فعلى سبيل المثال إذا قمت بحل مسألة رياضياتية وكانت النتيجة 1 (وإفترضت أنها صحيحة) ثم قمت بحلها بطريقة اخرى فكانت النتيجة 2 هذا يعني أن الحل الثاني خاطيء، أو أن فرضية أن العبارة الأولى صحيحة هي فرضية خاطئة، وبإختصار لا يمكن ان تكون النتيجة 2 وليست 2 في نفس الوقت.
▬ وبإختصار فإن الرياضيات تعتمد على المنطق كثيراً، ولذلك فمن المهم لك في دراستك للرياضيات أن تمر على دروس المنطق الرياضياتي، فهو يمرن عقلك على حضور الحس الرياضياتي لديك بشكل مستمر بحيث تؤدي عمليات رياضياتية بشكل شبه تلقائي (مسألة تعود لا أكثر).
• ابدأ من الأسهل ثم الاصعب.
▬ ما هو الأسهل لديك، دراسة الجبر أم دراسة الحساب ؟ أعتقد أن الإجابة ستكون هي دراسة الحساب. حسناً . إبدأ به، ستقول لي ولكني أعرفه وهو سهل جداً لدرجة أنني سأمل سريعاً من مراجعته مرة ثانية. فأقول لك هذه فكرة خاطئة، فصدقني جميعنا درس الحساب بطريقة الحفظ وليس بطريقة الفهم، فهل سألت نفسك لماذا نعتمد هذه الطريقة في القسمة المطولة ؟ هل تستطيع أن تثبتها ؟ أو هل تستطيع أن تتعرف على كيفية او آلية طريقة الضرب المطول ؟ كيف ومن أين جاءت هذه الطريقة في الضرب ؟ أو القسمة ؟ لماذا يتم الجمع والطرح في الحساب بهذه الطريقة ؟ لماذا نحفظ جدول الضرب الأساسي ؟ أيهما أهم أن نحفظ جدول الضرب ام أن نفهم جدول الضرب ؟ لماذا نحلل الأعداد إلى عواملها الأولية ؟ لماذا الأعداد الأولية تحتل مكانة كبيرة في الرياضيات ؟ كل هذه اسئلة لا يجب أن تمر عليها مرور الكرام بل يجب أن تبحث فيها بإستفاضة وتدرسها جيداً وتعيد النظر فيها من حين الآخر حتى وإن كنت جيد جداً في الرياضيات.
▬ بعد فهمك لأهم جوانب الحساب العادي، يمكنك ان تصنع نفس الشيء مع الهندسة (البسيطة) كحساب محيط الاشكال البسيطة (دائرة - مربع - مستطيل - ماذا نقصد بإيجاد المحيط، ثم ادرس كيف نحسبه مثلث - متوازي أضلاع .. إلخ) ولكن حاول ان تدرسهم بطريقة مختلفة من قبل .. لا تحفظ .. أفهم .. وماذا نقصد بالمساحة (المساحة تحتل مكان كبير جداً في الرياضيات والهندسة خصوصاً، وكذلك الحجم).. افهم كيف جاءت القوانين الأساسية لإيجاد مساحة وحجوم الأشكال الأساسية، ومرن نفسك مراراً وتكراراً عليها.. مرة اخرى لا تحفظ هذه القوانين (إلا) بعد فهمك إياها، ولا تتقيد بحل الكتاب أو حل الاستاذ أو الدكتور في الجامعة.. اعتبر أن ما يقوله الكتاب او الاستاذ مجرد إقتراح .. هو يقترح عليك طرقاً في الحل .. أو الفهم .. يجب أن تفكر أنت .. حل المسائل بطريقتك أنت .. بإختصار يجب أن تكون مشارك في الفعل، وليس مجرد متفرج!
▬ درست الرياضيات الأساسية .. رياضيات المرحلة الإبتدائية.. يمكنك ان نتقل إلى الجبر وتفهم ما تعنيه هذه الرموز، وهل لها معنى أم هي مجرد رموز إعتباطية، يجب أن تعلم ان الجبر مرحلة متطورة أو نموذج متطور من الحساب، ولذلك إذا جاز لنا التعبير لقلنا أن الجبر هو حساب متطور. هناك مسائل في الرياضيات إذا ظللنا نحلها بنفس الطريقة التي يعتمدها الحساب العادي لوجدتنا صعوبة بالغة، بل وتكاد تكون الطريقة مستحيلة، فجاء الجبر وحل هذه الإشكالية، فهو بالاساس يعتمد على طرق التجريد، وكلما تعمقت في دراسة الجبر ستجد أن العمليات الرياضيات أكثر تجريداً، وكلما زادت الصعوبة في الرياضيات كلما زادت تجريداً، والعكس صحيح، وأعني بالتجريد هنا أداء عمليات رياضياتية بطريقة آلية حتى تفهم هذه الطرق الآلية نعيدها إلى أصلها، ولذلك يجب ان انبهك بأنه بعد فهمك لقانون أو نظرية ما في الرياضيات طبقها على عدة تمارين حتى تثبت تماماً لديك وتكون جزء أساسي من تفكيرك الرياضياتي، ثم بعد ذلك تستعملها بطريقة تلقائية (يعني أحفظها فيما بعد .. ولكن لا تجعل الحفظ يسبق الفهم إلا في مواضع سأذكرها لك الآن) وهي أن يتوقف حل مسألة على نظرية، وهذه النظرية حتى تفمهما فأنت بحاجة لدراسة نظريات كبيرة جداً في الرياضيات، وأنت لست مؤهل إلى ذلك الآن، أو ليس لديك من الوقت ما يكفي، في هذه الحالة أنصحك بأن تأخذ النظرية كما هي دون فهم (إحفظها) ولكن حاول أن تجتهد فيما بعد، وتعمل على فهمها بعد أن تكون ألميت بالنظريات القبلية التي تتطلبها هذه النظرية. ومثال على ذلك الجبر على المصفوفات.. هذه الطرق أغلبها يتم حفظها لأن فهمها يتطلب منك دراسة باب واسع جداً في الرياضيات وهو الجبر الخطي، وهو موضوع ليس بالشيء الهين في الرياضيات.
• إجعل الرياضيات شيء أساسي لديك.
▬ أي أن تمارس الرياضيات بإستمرار (طبعاً من الافضل ألا يطغى ذلك على أشياء أخرى) أن تمارسها ممارسة معقولة، وفي أوقات محددة حتى لا تؤثر على جوانب أخرى في حياتك. أياك ثم اياك ان تدرس الرياضيات لمجرد الحصول على درجات متفوقة فيها فقط (أي أن تكون الدرجات أهم عندك) وإذا كنت مجبر على دراسة الرياضيات كمادة أساسية في الثانوية على سبيل المثال، وأنت لا تحب مادة الرياضيات ولا تفهم معظم قوانينها، فهنا أنت ستلجأ إلى الحفظ .. ليس لديك
خيار آخر، وطبعاً لن تكون الرياضيات هي إختيارك في المرحلة الجامعية، وبالمناسبة ليس من الضروري أن يكون مجال تخصصك الجامعي هو الرياضيات حتى تتقنها، لا فهذه نظرية خاطئة، يمكنك مثلاً أن تدرس في المجال الكمبيوتر، واعتقد سيكون محفز لك لدراسة الرياضيات، أو ان تقوم بدراسة الفلسفة، فستجد فيها محفز أيضاً لدراسة الرياضيات، أو العكس، فيمكن أن تكون الرياضيات محفز لك لدراسة الفلسفة... ستقول وما الذي يضمن لي هذا الإستمرار في الرياضيات والذي ربما يستمر معك دائماً ؟ الإجابة هي أن تلتمس فوائد كثيرة منها، كأن تدرس بجانبها الفزياء (على سبيل المثال) فتجد أنها شجعتك على دراستها، أو أنها ساعدتك في مجال كمبيوتر والإنترنت، أو أنها كانت عامل اساسي في تطوير نشاطك العقلي، بدأت تنظر إلى الأشياء بنظرة مختلفة، لديك طرق مبتكرة في حل المشكلات...إلخ، وأنا أقول لك إن لم تجد شيء كهذا فلن تستمر، لأنني اعتقد أنه سيكون شيء الممل جداً ان تدرس الرياضيات لغرض الرياضيات فقط، يجب أن تجد شيء يجعلك تستمر في دراستها.
• حرر نفسك شيئاً فشيئاً .. كن سلطان نفسك!
▬ قد يكون هذا العنوان مستهجن بعض الشيء، فما أقصده بتحرير نفسك هنا أي من سلطة الأستاذ عليك فلا تجعله يؤثر عليك سلباً، كأن يقول لك أنت فاشل في الرياضيات ولن تنفع فيها أبداً، أو أن يجعلك تفقد ثقتك بنفسك، والعنوان لا يدعو إلى التكبر والغرور .. كلا مطلقاً .. ولكن الرياضيات تتطلب ذلك، فأنت الذي تفكر، لا تجعل أحد يفكر بدلاً منك، يجب أن تدرك أن الأستاذ يقترح عليك طرق في الفهم او الحل، قد تكون طريقته معقدة وغير مفهومة بالنسبة لك، حاول أن تجد مدرس آخر، أو اعتمد على نفسك، فالرياضيات تحتاج إلى نشاط ذهني كبير . ولا تخش من الوقوع في الخطأ فهو بداية لك للتعلم السليم، وبمجرد معرفتك بشيء خاطيء ستكون قد اكتسبت معلومة جديدة، بأن طريقة معينة في الحل كانت خاطئة فتحاول ألا تكررها مرة ثانية.
• اربط الرياضيات بكل شيء في الحياة.
▬ نعم لا تستغرب ذلك، فهذا الشيء لا نفعله عنوة، ولكن لأنها حقيقة، فالرياضيات تهتم أصلاً بالكم، وهل وجدت شيء في هذه الحياة بدون كم ؟ أو على الاقل إجعلنا نتكلم في الكم المجرد (لأنك على سبيل ستمر في دراستك للرياضيات على الأعداد التخيلية، والتي ليست لها وجود في الواقع) ولهذا فكما ذكرت بأنه ليس من الضروري أن تطابق الرياضيات الواقع، ولكن الأهم ألا يحدث خلل داخل الرياضيات نفسها، أو داخل نسق رياضياتي محدد. ولكني اعتني بالربط الهندسي هنا أكثر، كأن تحلل تركيب الأشياء، مما يتكون شيء ما بطريقة هندسية، وما العوامل التي أدت تكوينه...إلخ. كذلك ربط الجبر بالهندسة من السمات الأساسية في الرياضيات، واخيراً مارس بنفسك حل تمارين كثيرة لأنه سيكون عامل مهم في تذكر الدروس أول بأول مع ثبات الأفكار الرئيسية التي يدور حولها الدرس.
أتمنى أن تساهم هذه النقاط التي ذكرتها في تغيير نظرتك الرياضيات وإعادة النظر فيها من جديد.. تحياتي لك وللمشاركين في السؤال.
كيف تطور نفسك في الرياضيات ؟ | mathematics problem solving
سأقترح عليك عدة نقاط إذا وجدت نفسك قادراً عل فهمها أو تجاوزها فستكون مؤهل لأن تكون الرياضيات تخصصك ومادة محببة لك ، وهنا أعني أن توفر من وقتك ومجهودك لتعلم المزيد والمزيد في الرياضيات ولا تمل أبداً، بل تجد متعة كبيرة في تعلمك إياها. وإن لم تجد ذلك فأعتقد أنه سيكون لديك مواهب في مجالات أخرى وستكون مبدع فيها أكثر من الرياضيات .. فأنا ركزت على الرياضيات أكثر لأنها تتفق مع طريقة تفكيري وهي إلى حد ما تناسبني، ولذلك فقد لا تناسبك بما فيه الكفاية.. ربما أنت مبدع في مجال آخر .. على كل الحال النقاط الرئيسية هي :
• فكر بطريقة غير إعتيادية.
▬ بإمكانك التفكير في أشياء يعتبرها الكثيرون أنها بسيطة أو مؤلوفة بطريقة غير مألوفة! كقضية الكل والجزء أيهما أكبر ؟ وهل بالفعل يمكن أن يوجد شيء أكبر من شيء أم ان الاكبر والاصغر تطرا عليه عوامل زمنية ومكانية فقط، كأن نقول الشيء أكبر من شيء آخر في وقت محدد وزمان محدد.. ؟ مثل هذه الاسئلة هي اسئلة فلسفية تتطلب تفكير عميق وطرح المزيد و المزيد من الاسئلة (اسئلة العصف الذهني) وأعتقد أن مثل هذه الاسئلة ستكون مدخل جيد جداً للرياضيات والتي تبحث في الكم أصلاً (الكميات .. المقادير .. الكميات المتساوية .. الكميات المقارنة..إلخ) يمكنك أن تطرح على نفسك هذا السؤال: لماذا 1+1=2 ؟ وهل فعلاً يمكن ان يوجد الشيء بذاته ؟ هل يمكن أن نحصل على الشيء منفرداً ؟ فمثلاً إذا كان لدينا تفاحتين عددهم 2 فماذا نقصد بقولنا تفاحة+تفاحة=2 ؟ وما هي التفاحة أصلاً ؟ هل لها تعريف ؟ وهل التعريف هذا جامع مانع ؟ هل 2 تعني أن لدي شيء+شيء من نفس الجنس أو النوع ؟ هل يمكن ان تتعدد الأجناس أو الأنواع ؟ ,,,,,, كل هذه اسئلة تحتاج إلى بحث مطول وتفكير عميق جداً... مرة اخرى سأفترض أنني وزنت لك كيلو+كيلو عنب émoticône smile هل بالفعل يمكن أن تتساوي الكمية الأولى مع الكمية الثانية تماماً (أي في الواقع) ولاحظ عندما أقول تماماً فأنا آخذ في الحسبان الكميات المتناهية في الصغر، كأن تكون جزء من مليار مليار مليار مليجرام! أو أصغر من ذلك!! هل بالفعل هما 2 كليوجرام تماماً ؟ ام ينقصون عن ذلك أو يزيدون ولو بقليل ؟ ... هذه الاسئلة ومثيلتها جعلت علماء الرياضيات يقرون بأنه ليس من الضروري ان تطابق الرياضيات الواقع.. 1+1=2 هي عملية ذهنية مجردة وإنتهى الأمر !
▬ نموذج آخر : هل تحب ترتيب الأشياء ؟ هل تحب وضع الأشياء في ترتيب معين مع إختلاف الترتيب في كل مرة وتشاهد ماذا يحدث ؟ شاهد معي هذه الجملة : زيد ضرب على ... نقوم بتغيير الترتيب .. على ضرب زيد .. ألا تلاحظ أن عامل الترتيب هنا غير المعنى ؟ الأول تعني أن فعل الضرب وقع على علي (أي أن علي مفعول به) والثانية تعني أن فعل الضرب وقع على زيد (أي أن زيد مفعول به) وبالتالي تغير الترتيب هنا غير من الشخص الذي وقع عليه فعل الضرب (أي المفعول به).. مثال آخر : أحمد صديق محمد .. وبعد أن غيرنا الترتيب اصبحت .. محمد صديق أحمد .. هل اختلف المعنى ؟ الإجابة لا (رغم إختلاف الترتيب)، وبالتالي وجدنا نوع من الترتيب يعطيني نفس المعنى .. وهذا يعني أن الجملة الأولى تكافيء الجملة الثانية. مثال آخر : لديك زوج من الحذاء (فردة يمين وفردة شمال) سنعيد ترتيبهم بحيث يحل الحذاء الأيمين محل الحذاء الأيسر والعكس، هل تغير الوضع ؟ ... لا تستغرب من هذه الاسئلة والتي قد يعتبرها البعض أنها مجرد شذوذ فكري أو فذلكة فكرية .. لا الأمر ليس هكذا مطلقاً.. فالرياضيات تتطلب هذا النوع من التفكير .
▬ نموذج آخر : هل فكرت في احد المرات ما هو اصغر شيء ؟ وهل يمكن بالفعل أن نحصل على اصغر شيء أم يكفي أن نقول كمية متناهية في الصغر ؟ أو فكرت لمجرد التفكير في أكبر شيء ؟ أم هل يكفي أن نقول لانهاية..؟ هل سألت نفسك في أحد المرات ما هي النقطة ؟ هل وجدت تعريفاً صحيحاً لها ؟ ماذا نعني بقولنا أن القطعة المستقيمة تتكون من عدد لانهائي من النقاط ؟ ما الفرق بين النقاط التي تشكل خط مستقيم والنقاط التي تشكل منحنى أو دائرة ؟ هل يمكن لنقاط مربع أن تشكل نقاط دائرة في حالة تغير ترتيب (وضع) هذه النقاط أم أن هذا الأمر مستحيل ؟
• مرن نفسك على استعمال طريقة التفكير البنائية.
▬ التفكير البنائي يعتمد على الإستدلال. هو الذي تكون فيه كل فكرة مبنية على الفكرة أو مجموعة الافكار السابقة لها، وعندما أقول مرن نفسك على طريقة التفكير البنائي، أقصد أن تجعله يحتل جزء اساسي في عقلك الباطن، بحيث تؤديه بطريقة تلقائية فيما بعد. خذ مثال: مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة تحتوى على أعداد لا تقبل القسمة إلا على عددين متمايزين هما العدد نفسه والواحد. والآن إذا قلنا بأن الـ (2) لا تقبل القسمة إلا على نفسها والواحد فقط، ولكن هذه الصفة أو الخاصية هي نفس الخاصية التي تنطبق على مجموعة الأعداد الأولية، وبالتالي فإن 2 عنصر في مجموعة الأعداد الأولية، والنتيجة هي 2 عدد اولي. لاحظ مثل هذه الطرق التي قد يمل منها البعض فيراها رغم بساطتها انها مملة احياناً، لكنها من الضمن الطرق الأساسية التي تستعمل للإستدلال في الرياضيات، وهي تستعمل بكثرة، بل مستحيل ان تكون الرياضيات بدونها، وما وضعته مجرد مثال فقط، ولذلك يجب أن تمرن نفسك على جميع طرق الإستدلال الرياضياتي بحيث يحتل مكاناً كبيراً لديك.
▬ وكما ترى فالأمر لا يحتاج إلى تسرع، ومعظم ما كتبته لك ليس من الضروري أن تكتبه كله، ولكن الذي أعنيه أن طريقة التفكير الذهنية ستكون بهذه الطريقة.. طريقة كما ترى مرتبة، وتنتقل من فكرة إلى فكرة أخرى، أو من إستدلال إلى استدلال آخر. ولا تستهين بأي إستدلال كان حتى وإن كنت ترى أنه إستدلال بسيط، فأحياناً يقف حل مسالة معقدة على استدلال كان محل الغفلة أو النسيان (أي لم يكن على البال مطلقاً) ولذلك أدعوك ان ترتب أفكارك جيداً، حتى نخرج بنتائج جيدة بأحد طرق الإستدلال أو الإستنتاج الرياضياتي.
▬ نموذج آخر : (ولا تمل من سهولة الإستدلال أو التركيز على أشياء قد تراها بسيطة، فهذه هي الطرق التي تستعمل في الرياضيات وتكون في الغالب غير واضحة بذاتها). اذا قلت لك أن 1+1=2 نستدل بها أن 1+1+1 = 2+1 وهذا يعني أن : 1+1+1=3 (الذي حدث هنا أننا اضفنا 1 لطرفي المعادلة). نموذج آخر : اذا كانت س أكبر من ص عبارة صحيحة، فيكون الإستدلال ص أكبر من س عبارة خاطئة، مما يعني أن العبارة ونقضيها لا يجتمعان، أي لا يمكن أن تكون عبارة ما صحيحة وخاطئة في نفس الوقت، فعلى سبيل المثال إذا قمت بحل مسألة رياضياتية وكانت النتيجة 1 (وإفترضت أنها صحيحة) ثم قمت بحلها بطريقة اخرى فكانت النتيجة 2 هذا يعني أن الحل الثاني خاطيء، أو أن فرضية أن العبارة الأولى صحيحة هي فرضية خاطئة، وبإختصار لا يمكن ان تكون النتيجة 2 وليست 2 في نفس الوقت.
▬ وبإختصار فإن الرياضيات تعتمد على المنطق كثيراً، ولذلك فمن المهم لك في دراستك للرياضيات أن تمر على دروس المنطق الرياضياتي، فهو يمرن عقلك على حضور الحس الرياضياتي لديك بشكل مستمر بحيث تؤدي عمليات رياضياتية بشكل شبه تلقائي (مسألة تعود لا أكثر).
• ابدأ من الأسهل ثم الاصعب.
▬ ما هو الأسهل لديك، دراسة الجبر أم دراسة الحساب ؟ أعتقد أن الإجابة ستكون هي دراسة الحساب. حسناً . إبدأ به، ستقول لي ولكني أعرفه وهو سهل جداً لدرجة أنني سأمل سريعاً من مراجعته مرة ثانية. فأقول لك هذه فكرة خاطئة، فصدقني جميعنا درس الحساب بطريقة الحفظ وليس بطريقة الفهم، فهل سألت نفسك لماذا نعتمد هذه الطريقة في القسمة المطولة ؟ هل تستطيع أن تثبتها ؟ أو هل تستطيع أن تتعرف على كيفية او آلية طريقة الضرب المطول ؟ كيف ومن أين جاءت هذه الطريقة في الضرب ؟ أو القسمة ؟ لماذا يتم الجمع والطرح في الحساب بهذه الطريقة ؟ لماذا نحفظ جدول الضرب الأساسي ؟ أيهما أهم أن نحفظ جدول الضرب ام أن نفهم جدول الضرب ؟ لماذا نحلل الأعداد إلى عواملها الأولية ؟ لماذا الأعداد الأولية تحتل مكانة كبيرة في الرياضيات ؟ كل هذه اسئلة لا يجب أن تمر عليها مرور الكرام بل يجب أن تبحث فيها بإستفاضة وتدرسها جيداً وتعيد النظر فيها من حين الآخر حتى وإن كنت جيد جداً في الرياضيات.
▬ بعد فهمك لأهم جوانب الحساب العادي، يمكنك ان تصنع نفس الشيء مع الهندسة (البسيطة) كحساب محيط الاشكال البسيطة (دائرة - مربع - مستطيل - ماذا نقصد بإيجاد المحيط، ثم ادرس كيف نحسبه مثلث - متوازي أضلاع .. إلخ) ولكن حاول ان تدرسهم بطريقة مختلفة من قبل .. لا تحفظ .. أفهم .. وماذا نقصد بالمساحة (المساحة تحتل مكان كبير جداً في الرياضيات والهندسة خصوصاً، وكذلك الحجم).. افهم كيف جاءت القوانين الأساسية لإيجاد مساحة وحجوم الأشكال الأساسية، ومرن نفسك مراراً وتكراراً عليها.. مرة اخرى لا تحفظ هذه القوانين (إلا) بعد فهمك إياها، ولا تتقيد بحل الكتاب أو حل الاستاذ أو الدكتور في الجامعة.. اعتبر أن ما يقوله الكتاب او الاستاذ مجرد إقتراح .. هو يقترح عليك طرقاً في الحل .. أو الفهم .. يجب أن تفكر أنت .. حل المسائل بطريقتك أنت .. بإختصار يجب أن تكون مشارك في الفعل، وليس مجرد متفرج!
▬ درست الرياضيات الأساسية .. رياضيات المرحلة الإبتدائية.. يمكنك ان نتقل إلى الجبر وتفهم ما تعنيه هذه الرموز، وهل لها معنى أم هي مجرد رموز إعتباطية، يجب أن تعلم ان الجبر مرحلة متطورة أو نموذج متطور من الحساب، ولذلك إذا جاز لنا التعبير لقلنا أن الجبر هو حساب متطور. هناك مسائل في الرياضيات إذا ظللنا نحلها بنفس الطريقة التي يعتمدها الحساب العادي لوجدتنا صعوبة بالغة، بل وتكاد تكون الطريقة مستحيلة، فجاء الجبر وحل هذه الإشكالية، فهو بالاساس يعتمد على طرق التجريد، وكلما تعمقت في دراسة الجبر ستجد أن العمليات الرياضيات أكثر تجريداً، وكلما زادت الصعوبة في الرياضيات كلما زادت تجريداً، والعكس صحيح، وأعني بالتجريد هنا أداء عمليات رياضياتية بطريقة آلية حتى تفهم هذه الطرق الآلية نعيدها إلى أصلها، ولذلك يجب ان انبهك بأنه بعد فهمك لقانون أو نظرية ما في الرياضيات طبقها على عدة تمارين حتى تثبت تماماً لديك وتكون جزء أساسي من تفكيرك الرياضياتي، ثم بعد ذلك تستعملها بطريقة تلقائية (يعني أحفظها فيما بعد .. ولكن لا تجعل الحفظ يسبق الفهم إلا في مواضع سأذكرها لك الآن) وهي أن يتوقف حل مسألة على نظرية، وهذه النظرية حتى تفمهما فأنت بحاجة لدراسة نظريات كبيرة جداً في الرياضيات، وأنت لست مؤهل إلى ذلك الآن، أو ليس لديك من الوقت ما يكفي، في هذه الحالة أنصحك بأن تأخذ النظرية كما هي دون فهم (إحفظها) ولكن حاول أن تجتهد فيما بعد، وتعمل على فهمها بعد أن تكون ألميت بالنظريات القبلية التي تتطلبها هذه النظرية. ومثال على ذلك الجبر على المصفوفات.. هذه الطرق أغلبها يتم حفظها لأن فهمها يتطلب منك دراسة باب واسع جداً في الرياضيات وهو الجبر الخطي، وهو موضوع ليس بالشيء الهين في الرياضيات.
• إجعل الرياضيات شيء أساسي لديك.
▬ أي أن تمارس الرياضيات بإستمرار (طبعاً من الافضل ألا يطغى ذلك على أشياء أخرى) أن تمارسها ممارسة معقولة، وفي أوقات محددة حتى لا تؤثر على جوانب أخرى في حياتك. أياك ثم اياك ان تدرس الرياضيات لمجرد الحصول على درجات متفوقة فيها فقط (أي أن تكون الدرجات أهم عندك) وإذا كنت مجبر على دراسة الرياضيات كمادة أساسية في الثانوية على سبيل المثال، وأنت لا تحب مادة الرياضيات ولا تفهم معظم قوانينها، فهنا أنت ستلجأ إلى الحفظ .. ليس لديك
خيار آخر، وطبعاً لن تكون الرياضيات هي إختيارك في المرحلة الجامعية، وبالمناسبة ليس من الضروري أن يكون مجال تخصصك الجامعي هو الرياضيات حتى تتقنها، لا فهذه نظرية خاطئة، يمكنك مثلاً أن تدرس في المجال الكمبيوتر، واعتقد سيكون محفز لك لدراسة الرياضيات، أو ان تقوم بدراسة الفلسفة، فستجد فيها محفز أيضاً لدراسة الرياضيات، أو العكس، فيمكن أن تكون الرياضيات محفز لك لدراسة الفلسفة... ستقول وما الذي يضمن لي هذا الإستمرار في الرياضيات والذي ربما يستمر معك دائماً ؟ الإجابة هي أن تلتمس فوائد كثيرة منها، كأن تدرس بجانبها الفزياء (على سبيل المثال) فتجد أنها شجعتك على دراستها، أو أنها ساعدتك في مجال كمبيوتر والإنترنت، أو أنها كانت عامل اساسي في تطوير نشاطك العقلي، بدأت تنظر إلى الأشياء بنظرة مختلفة، لديك طرق مبتكرة في حل المشكلات...إلخ، وأنا أقول لك إن لم تجد شيء كهذا فلن تستمر، لأنني اعتقد أنه سيكون شيء الممل جداً ان تدرس الرياضيات لغرض الرياضيات فقط، يجب أن تجد شيء يجعلك تستمر في دراستها.
• حرر نفسك شيئاً فشيئاً .. كن سلطان نفسك!
▬ قد يكون هذا العنوان مستهجن بعض الشيء، فما أقصده بتحرير نفسك هنا أي من سلطة الأستاذ عليك فلا تجعله يؤثر عليك سلباً، كأن يقول لك أنت فاشل في الرياضيات ولن تنفع فيها أبداً، أو أن يجعلك تفقد ثقتك بنفسك، والعنوان لا يدعو إلى التكبر والغرور .. كلا مطلقاً .. ولكن الرياضيات تتطلب ذلك، فأنت الذي تفكر، لا تجعل أحد يفكر بدلاً منك، يجب أن تدرك أن الأستاذ يقترح عليك طرق في الفهم او الحل، قد تكون طريقته معقدة وغير مفهومة بالنسبة لك، حاول أن تجد مدرس آخر، أو اعتمد على نفسك، فالرياضيات تحتاج إلى نشاط ذهني كبير . ولا تخش من الوقوع في الخطأ فهو بداية لك للتعلم السليم، وبمجرد معرفتك بشيء خاطيء ستكون قد اكتسبت معلومة جديدة، بأن طريقة معينة في الحل كانت خاطئة فتحاول ألا تكررها مرة ثانية.
• اربط الرياضيات بكل شيء في الحياة.
▬ نعم لا تستغرب ذلك، فهذا الشيء لا نفعله عنوة، ولكن لأنها حقيقة، فالرياضيات تهتم أصلاً بالكم، وهل وجدت شيء في هذه الحياة بدون كم ؟ أو على الاقل إجعلنا نتكلم في الكم المجرد (لأنك على سبيل ستمر في دراستك للرياضيات على الأعداد التخيلية، والتي ليست لها وجود في الواقع) ولهذا فكما ذكرت بأنه ليس من الضروري أن تطابق الرياضيات الواقع، ولكن الأهم ألا يحدث خلل داخل الرياضيات نفسها، أو داخل نسق رياضياتي محدد. ولكني اعتني بالربط الهندسي هنا أكثر، كأن تحلل تركيب الأشياء، مما يتكون شيء ما بطريقة هندسية، وما العوامل التي أدت تكوينه...إلخ. كذلك ربط الجبر بالهندسة من السمات الأساسية في الرياضيات، واخيراً مارس بنفسك حل تمارين كثيرة لأنه سيكون عامل مهم في تذكر الدروس أول بأول مع ثبات الأفكار الرئيسية التي يدور حولها الدرس.
أتمنى أن تساهم هذه النقاط التي ذكرتها في تغيير نظرتك الرياضيات وإعادة النظر فيها من جديد.. تحياتي لك وللمشاركين في السؤال.
كيف تطور نفسك في الرياضيات ؟ | mathematics problem solving
هل تستطيع إخراج الدجاجة من الزجاجة !
كتب مدرس الرياضيات على الصبورة مسألة تبدو غير مألوفة للطلاب رغم أنهم أخذوا فكرة حل مسائل من هذا النوع فتذمر كثير من الطلاب وبدؤوا يشتكون من صعوبة هذه المسائل وعدم إمكانية حلها ويقولون بأن الرياضيات مادة معقدة ويصعب التفكير في حلول للأسئلة وأنه يجب حفظ الحلول وإذا تغيرت الأرقام فإن ذلك يعقد المسائل ففهم أستاذ الرياضيات أن المشكلة ليست في المسائل التي يعطيها ولكن في الفكرة التي لدى الطلاب
مسح الأستاذ السؤال الذي كتبه وقال حسناً لن أشرح لكم المسائل اليوم سأستبدل الشرح بلعبة وعليكم التفكير في حلها...رسم الأستاذ على الصبورة زجاجة ذات عنق ضيق
ووضع بداخل الزجاجة دجاجة.
وقال : من يستطيع أن يخرج هذه الدجاجة من الزجاجة ؟
انسجم الطلاب مع اللعبة وبدؤوا يقدموا حلول ولكن جميع الحلول التي جربوها باءت بالفشل صرخ طالب يا أستاذ لا يمكن إخراج الدجاجة من الزجاجة إلا بكسر الزجاجة.
قال الأستاذ لا يمكنك خرق الشرط أخرجها من الفتحة.
قال طالب آخر متهكماً يا أستاذ قل لمن أدخل الدجاجة في الزجاجة أن يخرجها كما استطاع أن يدخلها.
قاطع الأستاذ بقية الطلاب وقال للطلاب أحسنت ، صحيح ، صحيح ، هذه هي الإجابة الصحيحة, من وضع الدجاجة في الزجاجة هو الوحيد الذي يستطيع أن يخرجها كذلك حالكم أنتم من وضع تلك الصعوبات في عقولكم هو الوحيد الذي يستطيع أن يخرجها لن تتمكنوا من فهم المسائل وحلها إلا إذا أزلتم من عقولكم فكرة أنها معقدة وصعبة الحل عندما تصلون لهذه القناعة وتلغوا القناعات السلبية التي تسيطر عليكم عندها فقط يمكنكم أن تشعروا بأن كل شيء قابل للحل إن أزلت من عقلك فكرة المستحيل..
عزيزي القارئ
كم فكرة خطرت في بالك كانت لتبدل حالك تخليت عنها بحجة المستحيل والصعب ثم رأيت غيرك يفعلها ويتفوق بها بل يحكى أن طالباً نام في أحد محاضرات الرياضيات
فوضع الدكتور بعض المسائل وقال للطلاب أن هذه المسائل لم يتوصل العلم لحلها ولكن الطالب عندما انتبه للصبورة رأى المسائل فاعتقد أنها وظيفة بيتية ثم عاد في اليوم التالي ليقول للدكتور أن المسائل كانت صعبة للغاية ولكنه تمكن من حل أحدها وبالفعل كان حله صحيح فكتبت المعادلة ووضع قانون لحل مسائل من هذا النوع باسم هذا الطالب عندما أزال من تفكيره المستحيل تمكن من الوصول لما عجز العلماء عن حل لغزه لديك قدرة كامنة لا تستهر بها لا تسر وفق خط رسمه لك غيرك كي لا تتوه في متاهة أنت من صنعها لنفسك فقط إذا أدركت أن بإمكانك صنع شيء تفتخر به وأن لا شيء مستحيل
عندها ستكون شيئاً متميزاً قد يستغرق اكتشاف هذا الأمر بالنسبة للبعض العمر كله وقد يموت البعض ولديهم أفكار لو طبقوها أو عملوا بها لغيروا من حياتهم الكثير ولكنهم ماتوا وماتت أفكارهم التي اعتبروا أنها مستحيلة .
أنت أفضل بكثير مما تعتقدالفشل هو الطريق الذي سيوصلك للنجاح, فلا تعجز عند الفشل بل اعتبر أنك بذلك توصلت لطريقة تعرف بها أن الحل سيكون خطأ وتتجنبها هذه الفكرة التي اعتمد عليها توماس اديسون عندما اخترع المصباح الكهربي بعد أن فشلت 99 محاولة له قبل أن تنجح المحاولة رقم 100.
كتب مدرس الرياضيات على الصبورة مسألة تبدو غير مألوفة للطلاب رغم أنهم أخذوا فكرة حل مسائل من هذا النوع فتذمر كثير من الطلاب وبدؤوا يشتكون من صعوبة هذه المسائل وعدم إمكانية حلها ويقولون بأن الرياضيات مادة معقدة ويصعب التفكير في حلول للأسئلة وأنه يجب حفظ الحلول وإذا تغيرت الأرقام فإن ذلك يعقد المسائل ففهم أستاذ الرياضيات أن المشكلة ليست في المسائل التي يعطيها ولكن في الفكرة التي لدى الطلاب
مسح الأستاذ السؤال الذي كتبه وقال حسناً لن أشرح لكم المسائل اليوم سأستبدل الشرح بلعبة وعليكم التفكير في حلها...رسم الأستاذ على الصبورة زجاجة ذات عنق ضيق
ووضع بداخل الزجاجة دجاجة.
وقال : من يستطيع أن يخرج هذه الدجاجة من الزجاجة ؟
انسجم الطلاب مع اللعبة وبدؤوا يقدموا حلول ولكن جميع الحلول التي جربوها باءت بالفشل صرخ طالب يا أستاذ لا يمكن إخراج الدجاجة من الزجاجة إلا بكسر الزجاجة.
قال الأستاذ لا يمكنك خرق الشرط أخرجها من الفتحة.
قال طالب آخر متهكماً يا أستاذ قل لمن أدخل الدجاجة في الزجاجة أن يخرجها كما استطاع أن يدخلها.
قاطع الأستاذ بقية الطلاب وقال للطلاب أحسنت ، صحيح ، صحيح ، هذه هي الإجابة الصحيحة, من وضع الدجاجة في الزجاجة هو الوحيد الذي يستطيع أن يخرجها كذلك حالكم أنتم من وضع تلك الصعوبات في عقولكم هو الوحيد الذي يستطيع أن يخرجها لن تتمكنوا من فهم المسائل وحلها إلا إذا أزلتم من عقولكم فكرة أنها معقدة وصعبة الحل عندما تصلون لهذه القناعة وتلغوا القناعات السلبية التي تسيطر عليكم عندها فقط يمكنكم أن تشعروا بأن كل شيء قابل للحل إن أزلت من عقلك فكرة المستحيل..
عزيزي القارئ
كم فكرة خطرت في بالك كانت لتبدل حالك تخليت عنها بحجة المستحيل والصعب ثم رأيت غيرك يفعلها ويتفوق بها بل يحكى أن طالباً نام في أحد محاضرات الرياضيات
فوضع الدكتور بعض المسائل وقال للطلاب أن هذه المسائل لم يتوصل العلم لحلها ولكن الطالب عندما انتبه للصبورة رأى المسائل فاعتقد أنها وظيفة بيتية ثم عاد في اليوم التالي ليقول للدكتور أن المسائل كانت صعبة للغاية ولكنه تمكن من حل أحدها وبالفعل كان حله صحيح فكتبت المعادلة ووضع قانون لحل مسائل من هذا النوع باسم هذا الطالب عندما أزال من تفكيره المستحيل تمكن من الوصول لما عجز العلماء عن حل لغزه لديك قدرة كامنة لا تستهر بها لا تسر وفق خط رسمه لك غيرك كي لا تتوه في متاهة أنت من صنعها لنفسك فقط إذا أدركت أن بإمكانك صنع شيء تفتخر به وأن لا شيء مستحيل
عندها ستكون شيئاً متميزاً قد يستغرق اكتشاف هذا الأمر بالنسبة للبعض العمر كله وقد يموت البعض ولديهم أفكار لو طبقوها أو عملوا بها لغيروا من حياتهم الكثير ولكنهم ماتوا وماتت أفكارهم التي اعتبروا أنها مستحيلة .
أنت أفضل بكثير مما تعتقدالفشل هو الطريق الذي سيوصلك للنجاح, فلا تعجز عند الفشل بل اعتبر أنك بذلك توصلت لطريقة تعرف بها أن الحل سيكون خطأ وتتجنبها هذه الفكرة التي اعتمد عليها توماس اديسون عندما اخترع المصباح الكهربي بعد أن فشلت 99 محاولة له قبل أن تنجح المحاولة رقم 100.
حلول واسرار: كيف أجعل ابني متفوق في الرياضيات ؟
كيف يكون ابني عبقري الرياضيات ؟ كيفية مساعدة الأطفال على التفوق في الرياضيات ؟ كيف يتفوق الأطفال في الرياضيات كلها أسألة تطرح في دهنك سواء كنت أب أو أستاذ في أجل أن يكون الأطفال من صغرهم متفوقين في الرياضيات ...في هذا الموضوع أحول التطرق الى بعد المعاملات التي يجب أن يعامل بها الأطفال لأجل ان يصبحو يحبو الرياضيات ومتفوقين فيها اتمنى أن تنال اعجابكم.
نجد أن الكثير من طلابنا لا يحب مادة الرياضيات, و لا يستطيعون أن يحصلوا على علامات عالية فيها, أو حتى لا يحبونها بالرغم من قدرتهم على تحصيل علامات عالية في الاختبارات, و هذا لا يعود كله إلى صعوبة المادة الدراسية و حاجتنا إلى مجهود عقلي أكبر لفهمها فحسب, بل كذلك لوجود حاجز نفسي يصعب على الكثير كسره, و يمكن تجاوزه من خلال تعليم طفلك حب الرياضيات في مراحل مبكرة, فكيف أجعل طفلي يحب الرياضيات . تحدت في موضع سابق على كيف تجعل ابنك يحفظ جدول الضرب ويمكنك الرجوع الى الموضوع من هنا ابني لم يحفظ جدول الضرب !!!
فيما يلي بعض الأمور التي قد تساعد في ذلك..
في البداية علينا أن نعلم أن جزءا كبيرا من أطفالنا يرثون كره الرياضيات من أهلهم, فهم يكونون يستمعون إلى أهلهم الذين يرددون جملة أنهم لم يحبوا الرياضيات و لم يفهموه أبدا خلال دراستهم, مما يؤثر على الطفل بطريقتين, الأولى أن طفل سيعتقد أن أهله الذين هم بالنسبة له مثل أعلى و أصحاب قدرات كبيرة, لا يمكنهم التعامل مع هذه المادة, فالبتالي هو لن يكون قادرا على ذلك, أما الثانية, فهي أن الطفل سيجد حجة له تجعله يضع مادة الرياضيات على الرف, و لا يبذل فيها جهد إضافي لفهمها, فحجته موجودة وهي أن أهله لن يستطيعوا محاسبته على مادة طالما فشلوا هم في فهمها.
تقريب مادة الرياضيات لحياة الطفل, و بالتحديد لأجزاء محببة له مثل اللعب أو التسوق, فخلال لعب الأطفال يمكن أن نشجعهم على ألعاب مرتبطة بالعد و الحسابات, مثل السلم و الثعبان و الموني بولي, و كذلك خلال التسوق لعد الأكلات الطيبة على الرف, أو حتى عد النقود و المحاسبة عند الكاش, و حتى في المطبخ من خلال عد كؤوس العصير و قطع الكيك.
يمكن ربط مادة الرياضيات بالأنشطة المختلفة خارج المنزل وداخله, و إكال مهام للطفل متعلقة بالرياضيات و الحساب, مثل عد السيارات الحمراء خلال الجولة في الشارع, أو توزيع قطع ألعاب التركيب بينه و بين أخوانه بالتساوي, أو عدد قطع الملابس في خزانته.
الجدير بالذكر هنا أن هذه الأمور تفيد في المراحل الصغيرة من العمر, و لكن دخول الطفل إلى الصفوف الأولى و هو متقن لمهارات الحساب الأولية بصورة تجعل المدرس يشيدون به, ستجعل الطفل مقتنعا تماما بأنه لا يعاني مشكلة في هذه المادة على عكس الكثير من زملائه, و هذه القناعة ستكبر مع الطفل صف بعد أخر.
كيف يكون ابني عبقري الرياضيات ؟ كيفية مساعدة الأطفال على التفوق في الرياضيات ؟ كيف يتفوق الأطفال في الرياضيات كلها أسألة تطرح في دهنك سواء كنت أب أو أستاذ في أجل أن يكون الأطفال من صغرهم متفوقين في الرياضيات ...في هذا الموضوع أحول التطرق الى بعد المعاملات التي يجب أن يعامل بها الأطفال لأجل ان يصبحو يحبو الرياضيات ومتفوقين فيها اتمنى أن تنال اعجابكم.
نجد أن الكثير من طلابنا لا يحب مادة الرياضيات, و لا يستطيعون أن يحصلوا على علامات عالية فيها, أو حتى لا يحبونها بالرغم من قدرتهم على تحصيل علامات عالية في الاختبارات, و هذا لا يعود كله إلى صعوبة المادة الدراسية و حاجتنا إلى مجهود عقلي أكبر لفهمها فحسب, بل كذلك لوجود حاجز نفسي يصعب على الكثير كسره, و يمكن تجاوزه من خلال تعليم طفلك حب الرياضيات في مراحل مبكرة, فكيف أجعل طفلي يحب الرياضيات . تحدت في موضع سابق على كيف تجعل ابنك يحفظ جدول الضرب ويمكنك الرجوع الى الموضوع من هنا ابني لم يحفظ جدول الضرب !!!
فيما يلي بعض الأمور التي قد تساعد في ذلك..
في البداية علينا أن نعلم أن جزءا كبيرا من أطفالنا يرثون كره الرياضيات من أهلهم, فهم يكونون يستمعون إلى أهلهم الذين يرددون جملة أنهم لم يحبوا الرياضيات و لم يفهموه أبدا خلال دراستهم, مما يؤثر على الطفل بطريقتين, الأولى أن طفل سيعتقد أن أهله الذين هم بالنسبة له مثل أعلى و أصحاب قدرات كبيرة, لا يمكنهم التعامل مع هذه المادة, فالبتالي هو لن يكون قادرا على ذلك, أما الثانية, فهي أن الطفل سيجد حجة له تجعله يضع مادة الرياضيات على الرف, و لا يبذل فيها جهد إضافي لفهمها, فحجته موجودة وهي أن أهله لن يستطيعوا محاسبته على مادة طالما فشلوا هم في فهمها.
تقريب مادة الرياضيات لحياة الطفل, و بالتحديد لأجزاء محببة له مثل اللعب أو التسوق, فخلال لعب الأطفال يمكن أن نشجعهم على ألعاب مرتبطة بالعد و الحسابات, مثل السلم و الثعبان و الموني بولي, و كذلك خلال التسوق لعد الأكلات الطيبة على الرف, أو حتى عد النقود و المحاسبة عند الكاش, و حتى في المطبخ من خلال عد كؤوس العصير و قطع الكيك.
يمكن ربط مادة الرياضيات بالأنشطة المختلفة خارج المنزل وداخله, و إكال مهام للطفل متعلقة بالرياضيات و الحساب, مثل عد السيارات الحمراء خلال الجولة في الشارع, أو توزيع قطع ألعاب التركيب بينه و بين أخوانه بالتساوي, أو عدد قطع الملابس في خزانته.
الجدير بالذكر هنا أن هذه الأمور تفيد في المراحل الصغيرة من العمر, و لكن دخول الطفل إلى الصفوف الأولى و هو متقن لمهارات الحساب الأولية بصورة تجعل المدرس يشيدون به, ستجعل الطفل مقتنعا تماما بأنه لا يعاني مشكلة في هذه المادة على عكس الكثير من زملائه, و هذه القناعة ستكبر مع الطفل صف بعد أخر.
سؤال وجواب: ما الفرق بين SMA و SMB
لا يوجد فرق بينهما من حيث الافاق ومن دروس مادتي الرياضيات والفيزياء
لكن هناك
فرق فsm a يدرسون مادة علوم الحياة والارض
في حين sm b يدرسون مكانها مادة علوم المهندس بالفرنسية تحتوي على (ميكانيك المحركات وكهرباء المحركات وتحليل الصناعي والرسم الصناعي ورسم البناء اي المعماري)
حيث شعبة sm a تحيلك على الطب وما هو بيولوجي كونك تدرس مادة svt
في حين sm b تعدك أكثر للقبول في المدرسة الوطنية للهندسة المعمارية كونها تعتمد على الرسم و الجيومتري
اي sm a تعدك للطب
و sm b تعدك ل ENA
اما من حيث مدارس الهندسة الاخرى CPGE ...
فكلاهما يعدانك لهم كونك تتلقى تكوين صلب في الرياضيات والفيزياء
بالاضافة ل SM A تساعدك على استيعاب بعد الشعب ذات مجال بيولوجي في EST و ISPITS
عموما ان كان هذفك الهندسة
فكلاهما يحملان نفس الافاق
فقط ستلاحظ
ان sm a تكون عتبتها اقل بفرق بسيط في الشعب ذات ميول بيولوجي او فلاحي
مثل ENAM APESA EST(branche bio(
لكن يتساوون في العتبة في كل منENSA ENSAM ENCG EST(GM GE GIM ..)
BTS CPGE ....
لا يوجد فرق بينهما من حيث الافاق ومن دروس مادتي الرياضيات والفيزياء
لكن هناك
فرق فsm a يدرسون مادة علوم الحياة والارض
في حين sm b يدرسون مكانها مادة علوم المهندس بالفرنسية تحتوي على (ميكانيك المحركات وكهرباء المحركات وتحليل الصناعي والرسم الصناعي ورسم البناء اي المعماري)
حيث شعبة sm a تحيلك على الطب وما هو بيولوجي كونك تدرس مادة svt
في حين sm b تعدك أكثر للقبول في المدرسة الوطنية للهندسة المعمارية كونها تعتمد على الرسم و الجيومتري
اي sm a تعدك للطب
و sm b تعدك ل ENA
اما من حيث مدارس الهندسة الاخرى CPGE ...
فكلاهما يعدانك لهم كونك تتلقى تكوين صلب في الرياضيات والفيزياء
بالاضافة ل SM A تساعدك على استيعاب بعد الشعب ذات مجال بيولوجي في EST و ISPITS
عموما ان كان هذفك الهندسة
فكلاهما يحملان نفس الافاق
فقط ستلاحظ
ان sm a تكون عتبتها اقل بفرق بسيط في الشعب ذات ميول بيولوجي او فلاحي
مثل ENAM APESA EST(branche bio(
لكن يتساوون في العتبة في كل منENSA ENSAM ENCG EST(GM GE GIM ..)
BTS CPGE ....
الطريق إلى العبقرية والذكاء الخارق : كيف تصبح عبقريا ؟
يطمح الجميع أن يصلوا إلى درجة عالية من الذكاء٬ كي يكونوا عباقرة مثل العديد من العلماء العرب والأجانب٬ ولكن الطموح وحده لا يكفي٬ يجب على كل شخص أن يكون لديه نية صادقة٬ في الوصول لتلك المرحلة من الذكاء والتفوق٬ كما يجب أن يكون لديه دافع قوي٬ يدفعه للأمام دائما ويجعله يحاول مرارا وتكرارا من أجل الوصول إليه.
ما هي العبقرية ؟
العبقرية هي تجمع عدد من الصفات في شخص واحد٬ فالشخص العبقري هو الذي يمتلك موهبة حقيقية ومعرفة شاملة عن كافة جوانب الحياة علمية كانت أو اقتصادية أو أدبية٬ كما أنه يمتلك مهارة فائقة تجعله قادر على إنجاز الكثير من الأهداف٬ بالإضافة إلى التركيز الذي يعد من أهم الصفات التي يجب توافرها في الشخص العبقري.
كيف تصبح عبقري ؟
السؤال الذي حير الكثير من الأشخاص٬ الذين بدأوا يفكروا في الطريق الذي ينتهي بهم إلى العبقرية والذكاء الخارق٬ فالجميع يحاول إيجاد الطرق التي تساعدهم على الوصول إلى مكانة العلماء والمخترعين العباقرة الذين يتحدث العالم كله عنهم٬ ومن أهم الطرق التي يجب على الشخص السير فيها كي يصل إلى العبقرية:
المثابرة :
قال العالم البرت اينشتاين٬ أن المثابرة من أهم الطرق التي يجب على الشخص سلكها من أجل الوصول للعبقرية٬ فالشخص الصبور هو القادر على التجربة مرة واثنين من أجل الوصول إلى الهدف الذي يسعي إليه٬ فمحاولة الشخص مرارا وتكرارا دون أن ييأس يجعله يصل إلى ما يبحث عنه وما يريد إثباته٬ الأمر الذي يجعله على المدى القصير عبقري.
العمل :
العبقرية لا تقتصر على الذكاء فقط٬ ولكن الاجتهاد والعمل والتفكير طوال الوقت في حل المشاكل٬ هو من يجعل الشخص عبقري٬ فجميع العباقرة أكدوا أن العبقرية 1% موهبة و99% اجتهاد وعمل٬ فلا يوجد عباقرة بالفطرة بل هناك أشخاص مجتهدون يسعون لتحقيق ما يحلمون به٬ ولا يوجد شخص فاشل٬ فالفاشل حقا هو من يكف عن المحاولة.
الفضول :
دائما ما نسمع أن الطفل شديد الفضول٬ الذي يطرح العديد من الأسئلة ويسعى لمعرفة أصل الأشياء٬ سيكون ذكي ومتفوق عندما يكبر٬ فحب الاستطلاع يساعد الشخص على اكتشاف أشياء جديدة٬ وربما يصل إلى بعض النظريات التي لم يتمكن غيره من التوصل لها٬ وبالتالي يجب على الشخص ألا يحرم نفسه من السؤال والبحث حتى يصل إلى أصل الأشياء وحقيقة الأمور.
المعرفة :
يعتقد الكثير أن المعرفة هي تجميع أكبر قدر من المعلومات٬ ولكن هذا الاعتقاد خاطئ تماما٬ فلا يمكن للشخص أن يكون لديه معرفة حقيقية دون أن يكون لدية خبرة كبيرة وخاض الكثير من التجارب٬ فأي شخص يمكنه جمع الكثير من المعلومات دون أن يبذل أي جهد٬ ولكن ما يفرق بين الشخص العادي والشخص العبقري٬ أن العبقري يحصل على المعرفة من خلال العمل لاكتساب الخبرات٬ فاينشتاين قال أن “ الثقافة هي كل ما يتبقى في عقولنا بعد أن ننسى كل ما أخذناه في المدرسة“.
استغلال المواهب والإمكانيات :
في البداية يجب على كل شخص أن يتعلم قواعد اللعبة أولا٬ وبعد ذلك يفكر كيف يلعب أفضل من الآخرين٬ بمعني أن يدرك الشخص حدود موهبته وإمكانياته وما يستطيع أن يقدمه٬ وبعد ذلك يبدأ يفكر كيف يتخطى تلك الحدود كي يفعل المستحيل٬ فالشخص العبقري هو من يستطيع فعل ما يراه الآخرون غير معقول ويستحيل حدوثه.
ارتكاب الأخطاء :
لا يمكن لأي شخص أن يتعلم دون أن يرتكب أخطاء٬ فالشخص الذي لا يرتكب أخطاء لا يمكنه أن يتعلم أي شئ جديد٬ فارتكاب الأخطاء يجعل الشخص يحاول مرات كثيرة من حتى يصل إلى ما يريده.
يطمح الجميع أن يصلوا إلى درجة عالية من الذكاء٬ كي يكونوا عباقرة مثل العديد من العلماء العرب والأجانب٬ ولكن الطموح وحده لا يكفي٬ يجب على كل شخص أن يكون لديه نية صادقة٬ في الوصول لتلك المرحلة من الذكاء والتفوق٬ كما يجب أن يكون لديه دافع قوي٬ يدفعه للأمام دائما ويجعله يحاول مرارا وتكرارا من أجل الوصول إليه.
ما هي العبقرية ؟
العبقرية هي تجمع عدد من الصفات في شخص واحد٬ فالشخص العبقري هو الذي يمتلك موهبة حقيقية ومعرفة شاملة عن كافة جوانب الحياة علمية كانت أو اقتصادية أو أدبية٬ كما أنه يمتلك مهارة فائقة تجعله قادر على إنجاز الكثير من الأهداف٬ بالإضافة إلى التركيز الذي يعد من أهم الصفات التي يجب توافرها في الشخص العبقري.
كيف تصبح عبقري ؟
السؤال الذي حير الكثير من الأشخاص٬ الذين بدأوا يفكروا في الطريق الذي ينتهي بهم إلى العبقرية والذكاء الخارق٬ فالجميع يحاول إيجاد الطرق التي تساعدهم على الوصول إلى مكانة العلماء والمخترعين العباقرة الذين يتحدث العالم كله عنهم٬ ومن أهم الطرق التي يجب على الشخص السير فيها كي يصل إلى العبقرية:
المثابرة :
قال العالم البرت اينشتاين٬ أن المثابرة من أهم الطرق التي يجب على الشخص سلكها من أجل الوصول للعبقرية٬ فالشخص الصبور هو القادر على التجربة مرة واثنين من أجل الوصول إلى الهدف الذي يسعي إليه٬ فمحاولة الشخص مرارا وتكرارا دون أن ييأس يجعله يصل إلى ما يبحث عنه وما يريد إثباته٬ الأمر الذي يجعله على المدى القصير عبقري.
العمل :
العبقرية لا تقتصر على الذكاء فقط٬ ولكن الاجتهاد والعمل والتفكير طوال الوقت في حل المشاكل٬ هو من يجعل الشخص عبقري٬ فجميع العباقرة أكدوا أن العبقرية 1% موهبة و99% اجتهاد وعمل٬ فلا يوجد عباقرة بالفطرة بل هناك أشخاص مجتهدون يسعون لتحقيق ما يحلمون به٬ ولا يوجد شخص فاشل٬ فالفاشل حقا هو من يكف عن المحاولة.
الفضول :
دائما ما نسمع أن الطفل شديد الفضول٬ الذي يطرح العديد من الأسئلة ويسعى لمعرفة أصل الأشياء٬ سيكون ذكي ومتفوق عندما يكبر٬ فحب الاستطلاع يساعد الشخص على اكتشاف أشياء جديدة٬ وربما يصل إلى بعض النظريات التي لم يتمكن غيره من التوصل لها٬ وبالتالي يجب على الشخص ألا يحرم نفسه من السؤال والبحث حتى يصل إلى أصل الأشياء وحقيقة الأمور.
المعرفة :
يعتقد الكثير أن المعرفة هي تجميع أكبر قدر من المعلومات٬ ولكن هذا الاعتقاد خاطئ تماما٬ فلا يمكن للشخص أن يكون لديه معرفة حقيقية دون أن يكون لدية خبرة كبيرة وخاض الكثير من التجارب٬ فأي شخص يمكنه جمع الكثير من المعلومات دون أن يبذل أي جهد٬ ولكن ما يفرق بين الشخص العادي والشخص العبقري٬ أن العبقري يحصل على المعرفة من خلال العمل لاكتساب الخبرات٬ فاينشتاين قال أن “ الثقافة هي كل ما يتبقى في عقولنا بعد أن ننسى كل ما أخذناه في المدرسة“.
استغلال المواهب والإمكانيات :
في البداية يجب على كل شخص أن يتعلم قواعد اللعبة أولا٬ وبعد ذلك يفكر كيف يلعب أفضل من الآخرين٬ بمعني أن يدرك الشخص حدود موهبته وإمكانياته وما يستطيع أن يقدمه٬ وبعد ذلك يبدأ يفكر كيف يتخطى تلك الحدود كي يفعل المستحيل٬ فالشخص العبقري هو من يستطيع فعل ما يراه الآخرون غير معقول ويستحيل حدوثه.
ارتكاب الأخطاء :
لا يمكن لأي شخص أن يتعلم دون أن يرتكب أخطاء٬ فالشخص الذي لا يرتكب أخطاء لا يمكنه أن يتعلم أي شئ جديد٬ فارتكاب الأخطاء يجعل الشخص يحاول مرات كثيرة من حتى يصل إلى ما يريده.
عشرة طرق لحصة رياضيات ممتعة
هذه مجموعة من النصائح موجهة لجميع معلمي الرياضيات, ويستغرق تطبيق معظمها بعض الوقت في المناهج العادية, لذا عليك أن تأخذ القرار: هل أتجاهل هذه النصائح وأترك طلابي يعانون الملل وعدم الحماس في حصة الرياضيات أم أقضي بعض الوقت في تشويقهم للرياضيات وتحفيزهم للإجابة عن أي سؤال بأنفسهم؟
1- اجعلها مفيدة
تعاني معظم حصص الرياضيات من جهل المعلمين بالهدف من تدريس مواضيع معينة, وبما يتلقاه الطلاب في المواد الدراسية الأخرى.
وكنتيجة لذلك لا يعرف الطلاب لم يدرسون تلك المواضيع, فيصبح السؤال المعتاد «لماذا علينا تعلم هذه الأشياء؟» منطقيًا. فهل لديك إجابة غير قول «لأنها ستدخل في الاختبار» أو أسوأ من ذلك «لأنها ستفيدكم»؟
من الطرق الممكنة لحل هذه المشكلة إيجاد المجالات التي يمكن أن يستفيد خلالها الطلاب من كل موضوع يتعلمونه (قد تكون حصة العلوم أو الهندسة), فمن الجيد استخدام أمثلة واقعية من المواد الأخرى وتعريف الطلاب على المجالات التي سيحتاجون فيها إلى استخدام كل موضوع. وكذلك مساعدة الطلاب على الربط بين مواضيع الرياضيات والعالم الحقيقي, وإن لم تكن تعرف كيف يستفاد من تلك المواضيع في الواقع فقم ببعض البحث.
2-ابدأ بأمثلة ملموسة- ودع المفاهيم المجردة لاحقًا
تعد الرياضيات من العلوم التجريدية، لكن علماء الرياضيات انطلقوا لقرون عدة من التفكير بمشكلات حقيقية وإيجاد طرق عملية لحلها, قبل تعميم تلك العمليات وتقديم الحلول باستخدام معادلات جبرية.
فإن لم يكن لدى الطلاب معرفة بما تعنيه المشكلات العملية الأساسية فكيف سيتمكنون من فهم تلك المشكلات مجردة على شكل معادلات؟
بدلاً من بدء كل موضوع بوضع المعادلة, ابدأ بطرح أمثلة واقعية للمشكلة التي تم حلها باستخدام تلك المعادلة. ثم ساعد الطلاب على رؤية ما تقدمه النظرية الرياضية لحل تلك المشكلة من خلال عرض عمليات التفكير التي تسبق الحل.
وهناك أمر آخر يجب أخذه بالحسبان، وهو أن الطلاب في هذه الأيام أصبحوا يقضون وقتًا أقل في اللعب بالخارج كما كانوا من قبل, لذلك ليس لديهم خبرة كافية يستندون إليها لإدراك مفاهيم مثل السرعة والتسارع وفكرة تروس الدراجة وعمومًا كيفية عمل الأشياء. لذا عندما تقول «تخيلوا...» يجد الطلاب صعوبة في تخيل ما تتكلم عنه بسبب ضعف خبرتهم الواقعية المتعلقة بذلك المفهوم.
3-ابدأ بمشكلة واقعية مشوقة (ويفضل أن تكون محلية)
يبدأ معظم معلمي الرياضيات بقول «هذه هي المعادلة الجديدة التي سندرسها اليوم, وهكذا نعوض القيم, وهذا هو الحل الصحيح».
المشكلة في هذا الأسلوب أنه لا يحمل أي محاولة لتحفيز الطلاب, بينما من المفيد استفزاز فضولهم باستخدام صورة أومقطع فيديو قصير أو مخطط أو قصة طريفة أو رسم بياني, وهذه الآلية يجب أن تعرض مشكلة مثيرة في البيئة المحلية بحيث يشعر الطلاب بالارتباط بها والقرب منها، وبالطبع فإن الإشارة إلى المشاكل الواقعية العديدة لمساعدة الطلاب على التعلم تمنحهم فرصة المشاركة بتقديم الحلول.
4- اترك العمل الصعب للحاسوب كلما أمكن
تبدو كثير من حصص الرياضيات وكأن الهدف منها تدريس العمليات الحسابية بدلاً من زرع المفاهيم، بينما من غير المجدي في هذا العصر أن يقضي البشر الوقت في تعلم كيفية إجراء عمليات حسابية باستخدام طرق جبرية معقدة.
يقول جون آلن باولوس: ليست الرياضيات عمليات حسابية بقدر ما أن الطباعة على الآلة الكاتبة ليست هي الأدب.
ومن المهم للغالبية العظمى من الطلاب (الذين لن يصبحوا في النهاية علماء رياضيات) أن يدركوا المفاهيم والعمليات التي تستخدم عند مواجهة المشاكل الواقعية العديدة, لذا عليهم تعلم استخدام النظم الجبرية الحاسوبية والآلات الحاسبة المتطورة لحل تلك المسائل.
حضرت مؤخرًا درس رياضيات أراد خلاله المعلم حساب الانحراف المعياري لمجموعة من النتائج, وبدأ بوضع المعادلة ثم طلب من الطلاب استخدام برنامج إكسل EXcel, حيث أراد منهم تطبيق المعادلة بأنفسهم (بدلاً من ترك إكسل يقوم بها تلقائيًا باستخدام الأمر STDEV, وهو ما قام به معظم الطلاب بالفعل). كانت المشكلة أن الطلاب لا يعرفون حتى ما يعنيه مصطلح الانحراف المعياري. وكانوا يدخلون الأرقام مع فهم قليل لما تعنيه, حتى تذكر أحدهم المنحنى المعياري الطبيعي وتمكن من شرح ما كانوا يفعلون. وكان ينبغي أن يتأكد المعلم من حصول الطلاب على فكرة عامة في البداية تشمل المعنى العام للبعد عن الوسط.
أيضًا عند إيجاد طول المنحنى باستخدام حساب التفاضل والتكامل, من غير الممكن الحصول على الإجابة باستخدام التكامل العادي (لأن التكامل غير موجود). لكن باستخدام نظام جبري حاسوبي يمكننا الحصول على الإجابة لمثل هذه المشكلات بسهولة وإعطاء وقت أطول لفهم المسألة والحل المعطى.
حاول الاستفادة من الأدوات المجانية المتاحة على الإنترنت مع طلابك مثل WolframAlpha وGeogebra. ومن الأفضل أن يقوم الطلاب باستخدامها بأنفسهم، لكن إن لم يتوفر لديك عدد كاف من أجهزة الحاسب الآلي في الفصل فعلى الأقل اشرح لهم كيفية استخدامها.
5-الإبداع والارتباط
يشعر العديد من طلاب الرياضيات بقدر قليل من الارتباط بما يدور خلال الحصة, فليس لديهم الكثير مما يقال حول المواضيع التي تدرس (وهذا شائع في معظم مدارس التعليم الرسمي) والواجب المنزلي الذي يطلب من الجميع هو نفسه. لذا ليس من المستغرب ألا يكون هناك حماس تجاه منهج (مقاس واحد يناسب الجميع).
كلنا مبدعون ونحب الإبداع لكن في معظم أنظمة المدارس لا يجد الإبداع التشجيع، بينما هناك العديد من الطرق التي يمكن بها تشجيع الإبداع في الرياضيات والتقنية أهمها.
شجع طلابك على استخدام وسائل إبداعية لوصف المفاهيم الرياضية (مثل إعداد فيلم مرئي أو رسوم متحركة أو رسم تخطيطي أو ربما خريطة مفاهيم).
مثل هذه المهام الفردية تساعد الطلاب على التفكير بصورة أشمل, وتشجعهم على الإبداع وتولد لديهم الإحساس بالارتباط والمشاركة على عكس الواجبات الجماعية التقليدية.
6-أشرك طلابك
أشرك طلابك في الدروس, عندما تتحدث إليهم في حصة طويلة دون أن تشجعهم على أي نوع من المشاركة فلا تستغرب تبلدهم.
حاول أن تدفع الطلاب للقيام بنشاطات ذات فائدة في الفصل مثل: تمثيل أدوار المفاهيم, أوالقيام بمسابقات الذاكرة, خاصة تلك التي تساعدهم على تذكر المفردات والرموز, أوالمناقشة الجماعية لسؤال ذي مستوى أعلى حول المقارنة والتحليل...إلخ, أوالاستماع لآرائهم ومشاعرهم تجاه الموضوع المطروح (وهذا نادر في حصص الرياضيات, لذا سيرحبون بسؤالهم والحصول على إجابات لمخاوفهم).
استخدم وسائل التصويت الحديثة أو الطريقة التقليدية برفع الأصابع لتأخذ آراءهم حول أمور مثل السرعة التي يمضي بها الدرس إن كانت مناسبة لهم أم لا, ومناقشة طرق الحل الصحيحة للأسئلة التي يكثر فيها الخطأ.
7-اطرح أسئلة أكثر تشويقًا
«اقرأ العبارة التالية واختر الإجابة الصحيحة: يحمل زورق صخرة كبيرة ويطفو على سطح بحيرة, عند إلقاء الصخرة في البحيرة فإن الصخرة تغرق ومستوى ماء البحيرة.....
-يرتفع
-ينخفض
-يبقى كما هو»
تأتي معظم أسئلة الرياضيات للطلاب من الكتاب المقرر أو من أوراق العمل, وكلها تسير عادة على هذا النمط «اقرأ المسألة, استخرج الأرقام, عوض بها في المعادلة المعطاة, أجر بعض العمليات الحسابية, ثم انتقل للمسألة التالية».
لكن من الأفضل أن تحث الطلاب على طرح أسئلتهم, خاصة الأسئلة الخيالية المشوقة بدلاً من الأسئلة التي تعتمد على حساب الأرقام, فالسؤال السابق يساعد على إثارة النقاش الجيد أكثر من أسئلة الكتاب التقليدية.
وهنا مثال آخر:
«تخيل أنك تمارس القفز المظلي, الرسم البياني الذي يمثل سرعة هبوطك كدالة للزمن من لحظة قفزك من الطائرة حتى اللحظة التي تحقق فيها السرعة القصوى يمثل.....:
-مقعرًا لأسفل متزايدًا
-مقعرًا لأسفل متناقصًا
-خطًا مستقيمًا صاعدًا
-مقعرًا لأعلى متزايدًا»
مثل هذه الأسئلة ينتج عنها استيعاب أكبر للمفاهيم دون الحاجة لإجراء أي عمليات حسابية.
ما إن يعتاد الطلاب على هذا المستوى من الأسئلة المفاهيمية, فإنهم يبدؤون بطرح أسئلة أكثر عمقًا وجدوى.
8-دع الطلاب يكتبون الأسئلة
يفهم الطلاب أكثر عندما يقومون بصياغة أسئلة من عندهم.
إحدى الأفكار البسيطة لتشجيعهم على ذلك, أن تطلب منهم وضع أسئلة الاختبار الفصلي, يمكنك توزيع الطلاب في مجموعات صغيرة وتكليفهم باقتراح سؤالين أو ثلاثة في موضوعات فرعية محددة لكل مجموعة, من المدهش حقًا ما يكشفه ذلك من مستوى استيعابهم لما تعلموه, كما أنه يتيح لهم النظر للرياضيات من منظور أوسع.
بعد ذلك اطلب منهم مشاركة الأسئلة مع بقية الطلاب في الفصل ومناقشة حلولها, قد يكون بعضها مستحيل الحل, وهنا يمكن تحويل النقاش حول الخطأ في السؤال وتعديله.
ويمكنهم استخدام محرر مستندات غوغل أو موسوعة ويكيبيديا فيكون هناك توثيق لعمليات التفكير والحل التي يقومون بها.
9-كتابة المقالات
قد تكون هذه الفكرة غريبة لأننا لم نتعود عليها في حصص الرياضيات, لكنها مع ذلك مفيدة جدًا في التعلم، فالتأمل عنصر أساسي للتعلم الفعال. ولن يدرك الطلاب قيمة الكتابة عن عمليات التفكير في الرياضيات في البداية, لكن بمجرد ما يرون كيف يمكنها مساعدتهم في توضيح شكوكهم فإنهم يتحمسون لاستخدامها أكثر.
10-المشاريع
من الطرق الفعالة لإشراك الطلاب تكليفهم بتصميم وصناعة شيء تدخل الرياضيات في إعداده.
تطبيق هذه النصيحة سيدخل إلى حصة الرياضيات الجانب الإبداعي والتطبيق العملي، وهو ما تفتقر إليه عادة. وسيكون الأمر أكثر تأثيرًا إن كانت العناصر التي يحتاجون لصناعتها ترتبط بمواد دراسية أخرى, وهذا يساعد الطلاب على العمل بصورة شاملة والربط بين ما عليهم معرفته.
ومن الأمثلة على ذلك:
صناعة روبوتات من قطع الليغو.
تشكيل مجسم يشرح انحدار المنحنى عند نقطة محددة.
ابتكار أدوات لبرنامج الرياضيات جيوجبرا Geogebra تشرح بعض المفاهيم.
موري بورن
ديمة المقرن
هذه مجموعة من النصائح موجهة لجميع معلمي الرياضيات, ويستغرق تطبيق معظمها بعض الوقت في المناهج العادية, لذا عليك أن تأخذ القرار: هل أتجاهل هذه النصائح وأترك طلابي يعانون الملل وعدم الحماس في حصة الرياضيات أم أقضي بعض الوقت في تشويقهم للرياضيات وتحفيزهم للإجابة عن أي سؤال بأنفسهم؟
1- اجعلها مفيدة
تعاني معظم حصص الرياضيات من جهل المعلمين بالهدف من تدريس مواضيع معينة, وبما يتلقاه الطلاب في المواد الدراسية الأخرى.
وكنتيجة لذلك لا يعرف الطلاب لم يدرسون تلك المواضيع, فيصبح السؤال المعتاد «لماذا علينا تعلم هذه الأشياء؟» منطقيًا. فهل لديك إجابة غير قول «لأنها ستدخل في الاختبار» أو أسوأ من ذلك «لأنها ستفيدكم»؟
من الطرق الممكنة لحل هذه المشكلة إيجاد المجالات التي يمكن أن يستفيد خلالها الطلاب من كل موضوع يتعلمونه (قد تكون حصة العلوم أو الهندسة), فمن الجيد استخدام أمثلة واقعية من المواد الأخرى وتعريف الطلاب على المجالات التي سيحتاجون فيها إلى استخدام كل موضوع. وكذلك مساعدة الطلاب على الربط بين مواضيع الرياضيات والعالم الحقيقي, وإن لم تكن تعرف كيف يستفاد من تلك المواضيع في الواقع فقم ببعض البحث.
2-ابدأ بأمثلة ملموسة- ودع المفاهيم المجردة لاحقًا
تعد الرياضيات من العلوم التجريدية، لكن علماء الرياضيات انطلقوا لقرون عدة من التفكير بمشكلات حقيقية وإيجاد طرق عملية لحلها, قبل تعميم تلك العمليات وتقديم الحلول باستخدام معادلات جبرية.
فإن لم يكن لدى الطلاب معرفة بما تعنيه المشكلات العملية الأساسية فكيف سيتمكنون من فهم تلك المشكلات مجردة على شكل معادلات؟
بدلاً من بدء كل موضوع بوضع المعادلة, ابدأ بطرح أمثلة واقعية للمشكلة التي تم حلها باستخدام تلك المعادلة. ثم ساعد الطلاب على رؤية ما تقدمه النظرية الرياضية لحل تلك المشكلة من خلال عرض عمليات التفكير التي تسبق الحل.
وهناك أمر آخر يجب أخذه بالحسبان، وهو أن الطلاب في هذه الأيام أصبحوا يقضون وقتًا أقل في اللعب بالخارج كما كانوا من قبل, لذلك ليس لديهم خبرة كافية يستندون إليها لإدراك مفاهيم مثل السرعة والتسارع وفكرة تروس الدراجة وعمومًا كيفية عمل الأشياء. لذا عندما تقول «تخيلوا...» يجد الطلاب صعوبة في تخيل ما تتكلم عنه بسبب ضعف خبرتهم الواقعية المتعلقة بذلك المفهوم.
3-ابدأ بمشكلة واقعية مشوقة (ويفضل أن تكون محلية)
يبدأ معظم معلمي الرياضيات بقول «هذه هي المعادلة الجديدة التي سندرسها اليوم, وهكذا نعوض القيم, وهذا هو الحل الصحيح».
المشكلة في هذا الأسلوب أنه لا يحمل أي محاولة لتحفيز الطلاب, بينما من المفيد استفزاز فضولهم باستخدام صورة أومقطع فيديو قصير أو مخطط أو قصة طريفة أو رسم بياني, وهذه الآلية يجب أن تعرض مشكلة مثيرة في البيئة المحلية بحيث يشعر الطلاب بالارتباط بها والقرب منها، وبالطبع فإن الإشارة إلى المشاكل الواقعية العديدة لمساعدة الطلاب على التعلم تمنحهم فرصة المشاركة بتقديم الحلول.
4- اترك العمل الصعب للحاسوب كلما أمكن
تبدو كثير من حصص الرياضيات وكأن الهدف منها تدريس العمليات الحسابية بدلاً من زرع المفاهيم، بينما من غير المجدي في هذا العصر أن يقضي البشر الوقت في تعلم كيفية إجراء عمليات حسابية باستخدام طرق جبرية معقدة.
يقول جون آلن باولوس: ليست الرياضيات عمليات حسابية بقدر ما أن الطباعة على الآلة الكاتبة ليست هي الأدب.
ومن المهم للغالبية العظمى من الطلاب (الذين لن يصبحوا في النهاية علماء رياضيات) أن يدركوا المفاهيم والعمليات التي تستخدم عند مواجهة المشاكل الواقعية العديدة, لذا عليهم تعلم استخدام النظم الجبرية الحاسوبية والآلات الحاسبة المتطورة لحل تلك المسائل.
حضرت مؤخرًا درس رياضيات أراد خلاله المعلم حساب الانحراف المعياري لمجموعة من النتائج, وبدأ بوضع المعادلة ثم طلب من الطلاب استخدام برنامج إكسل EXcel, حيث أراد منهم تطبيق المعادلة بأنفسهم (بدلاً من ترك إكسل يقوم بها تلقائيًا باستخدام الأمر STDEV, وهو ما قام به معظم الطلاب بالفعل). كانت المشكلة أن الطلاب لا يعرفون حتى ما يعنيه مصطلح الانحراف المعياري. وكانوا يدخلون الأرقام مع فهم قليل لما تعنيه, حتى تذكر أحدهم المنحنى المعياري الطبيعي وتمكن من شرح ما كانوا يفعلون. وكان ينبغي أن يتأكد المعلم من حصول الطلاب على فكرة عامة في البداية تشمل المعنى العام للبعد عن الوسط.
أيضًا عند إيجاد طول المنحنى باستخدام حساب التفاضل والتكامل, من غير الممكن الحصول على الإجابة باستخدام التكامل العادي (لأن التكامل غير موجود). لكن باستخدام نظام جبري حاسوبي يمكننا الحصول على الإجابة لمثل هذه المشكلات بسهولة وإعطاء وقت أطول لفهم المسألة والحل المعطى.
حاول الاستفادة من الأدوات المجانية المتاحة على الإنترنت مع طلابك مثل WolframAlpha وGeogebra. ومن الأفضل أن يقوم الطلاب باستخدامها بأنفسهم، لكن إن لم يتوفر لديك عدد كاف من أجهزة الحاسب الآلي في الفصل فعلى الأقل اشرح لهم كيفية استخدامها.
5-الإبداع والارتباط
يشعر العديد من طلاب الرياضيات بقدر قليل من الارتباط بما يدور خلال الحصة, فليس لديهم الكثير مما يقال حول المواضيع التي تدرس (وهذا شائع في معظم مدارس التعليم الرسمي) والواجب المنزلي الذي يطلب من الجميع هو نفسه. لذا ليس من المستغرب ألا يكون هناك حماس تجاه منهج (مقاس واحد يناسب الجميع).
كلنا مبدعون ونحب الإبداع لكن في معظم أنظمة المدارس لا يجد الإبداع التشجيع، بينما هناك العديد من الطرق التي يمكن بها تشجيع الإبداع في الرياضيات والتقنية أهمها.
شجع طلابك على استخدام وسائل إبداعية لوصف المفاهيم الرياضية (مثل إعداد فيلم مرئي أو رسوم متحركة أو رسم تخطيطي أو ربما خريطة مفاهيم).
مثل هذه المهام الفردية تساعد الطلاب على التفكير بصورة أشمل, وتشجعهم على الإبداع وتولد لديهم الإحساس بالارتباط والمشاركة على عكس الواجبات الجماعية التقليدية.
6-أشرك طلابك
أشرك طلابك في الدروس, عندما تتحدث إليهم في حصة طويلة دون أن تشجعهم على أي نوع من المشاركة فلا تستغرب تبلدهم.
حاول أن تدفع الطلاب للقيام بنشاطات ذات فائدة في الفصل مثل: تمثيل أدوار المفاهيم, أوالقيام بمسابقات الذاكرة, خاصة تلك التي تساعدهم على تذكر المفردات والرموز, أوالمناقشة الجماعية لسؤال ذي مستوى أعلى حول المقارنة والتحليل...إلخ, أوالاستماع لآرائهم ومشاعرهم تجاه الموضوع المطروح (وهذا نادر في حصص الرياضيات, لذا سيرحبون بسؤالهم والحصول على إجابات لمخاوفهم).
استخدم وسائل التصويت الحديثة أو الطريقة التقليدية برفع الأصابع لتأخذ آراءهم حول أمور مثل السرعة التي يمضي بها الدرس إن كانت مناسبة لهم أم لا, ومناقشة طرق الحل الصحيحة للأسئلة التي يكثر فيها الخطأ.
7-اطرح أسئلة أكثر تشويقًا
«اقرأ العبارة التالية واختر الإجابة الصحيحة: يحمل زورق صخرة كبيرة ويطفو على سطح بحيرة, عند إلقاء الصخرة في البحيرة فإن الصخرة تغرق ومستوى ماء البحيرة.....
-يرتفع
-ينخفض
-يبقى كما هو»
تأتي معظم أسئلة الرياضيات للطلاب من الكتاب المقرر أو من أوراق العمل, وكلها تسير عادة على هذا النمط «اقرأ المسألة, استخرج الأرقام, عوض بها في المعادلة المعطاة, أجر بعض العمليات الحسابية, ثم انتقل للمسألة التالية».
لكن من الأفضل أن تحث الطلاب على طرح أسئلتهم, خاصة الأسئلة الخيالية المشوقة بدلاً من الأسئلة التي تعتمد على حساب الأرقام, فالسؤال السابق يساعد على إثارة النقاش الجيد أكثر من أسئلة الكتاب التقليدية.
وهنا مثال آخر:
«تخيل أنك تمارس القفز المظلي, الرسم البياني الذي يمثل سرعة هبوطك كدالة للزمن من لحظة قفزك من الطائرة حتى اللحظة التي تحقق فيها السرعة القصوى يمثل.....:
-مقعرًا لأسفل متزايدًا
-مقعرًا لأسفل متناقصًا
-خطًا مستقيمًا صاعدًا
-مقعرًا لأعلى متزايدًا»
مثل هذه الأسئلة ينتج عنها استيعاب أكبر للمفاهيم دون الحاجة لإجراء أي عمليات حسابية.
ما إن يعتاد الطلاب على هذا المستوى من الأسئلة المفاهيمية, فإنهم يبدؤون بطرح أسئلة أكثر عمقًا وجدوى.
8-دع الطلاب يكتبون الأسئلة
يفهم الطلاب أكثر عندما يقومون بصياغة أسئلة من عندهم.
إحدى الأفكار البسيطة لتشجيعهم على ذلك, أن تطلب منهم وضع أسئلة الاختبار الفصلي, يمكنك توزيع الطلاب في مجموعات صغيرة وتكليفهم باقتراح سؤالين أو ثلاثة في موضوعات فرعية محددة لكل مجموعة, من المدهش حقًا ما يكشفه ذلك من مستوى استيعابهم لما تعلموه, كما أنه يتيح لهم النظر للرياضيات من منظور أوسع.
بعد ذلك اطلب منهم مشاركة الأسئلة مع بقية الطلاب في الفصل ومناقشة حلولها, قد يكون بعضها مستحيل الحل, وهنا يمكن تحويل النقاش حول الخطأ في السؤال وتعديله.
ويمكنهم استخدام محرر مستندات غوغل أو موسوعة ويكيبيديا فيكون هناك توثيق لعمليات التفكير والحل التي يقومون بها.
9-كتابة المقالات
قد تكون هذه الفكرة غريبة لأننا لم نتعود عليها في حصص الرياضيات, لكنها مع ذلك مفيدة جدًا في التعلم، فالتأمل عنصر أساسي للتعلم الفعال. ولن يدرك الطلاب قيمة الكتابة عن عمليات التفكير في الرياضيات في البداية, لكن بمجرد ما يرون كيف يمكنها مساعدتهم في توضيح شكوكهم فإنهم يتحمسون لاستخدامها أكثر.
10-المشاريع
من الطرق الفعالة لإشراك الطلاب تكليفهم بتصميم وصناعة شيء تدخل الرياضيات في إعداده.
تطبيق هذه النصيحة سيدخل إلى حصة الرياضيات الجانب الإبداعي والتطبيق العملي، وهو ما تفتقر إليه عادة. وسيكون الأمر أكثر تأثيرًا إن كانت العناصر التي يحتاجون لصناعتها ترتبط بمواد دراسية أخرى, وهذا يساعد الطلاب على العمل بصورة شاملة والربط بين ما عليهم معرفته.
ومن الأمثلة على ذلك:
صناعة روبوتات من قطع الليغو.
تشكيل مجسم يشرح انحدار المنحنى عند نقطة محددة.
ابتكار أدوات لبرنامج الرياضيات جيوجبرا Geogebra تشرح بعض المفاهيم.
موري بورن
ديمة المقرن
كيف تتغلب على التوتر و الخوف من الامتحان
الخوف يوم الامتحان من المشاكل التي يعاني منها معظم التلاميذ و الطلبة و التي تسبب في نسيان المعلومات و الارتباك امام ورقة الامتحان فهل الخوف من الامتحان شعور طبيعي ؟ ما هي الاسباب النفسية للشعور بالخوف يوم الامتحان ؟
الخوف يوم الامتحان من المشاكل التي يعاني منها معظم التلاميذ و الطلبة و التي تسبب في نسيان المعلومات و الارتباك امام ورقة الامتحان فهل الخوف من الامتحان شعور طبيعي ؟ ما هي الاسباب النفسية للشعور بالخوف يوم الامتحان ؟
الاشتراك في:
الرسائل (Atom)