مفارقة "أخيل والسلحفاة" والإلهام بوجود مفهوم النهاية في الرياضيات

يعتبر زينون الإيلي Zeno of Elea أبا الفلسفة الجدلية وكان يمضي وقته في دراسة وضعيات و مشاكل افتراضية يبحث عن حلها باستخدام المنطق والجدال ! وأفضى بحثه إلى ما سمي بمفارقات زينون Zeno's Paradoxes وأشهرها مفارقة "أخيل والسلحفاة" Achilles and the Tortoise.
أخيل هو أحد الأبطال الأسطوريين في الميثولوجيا الاغريقية،لهذه اشتهر بقوته وسرعته الخارقتين، وقد اتخذه زينون رمزا
المفارقة وهي كالتالي: "لا يمكن لأسرع العدائين وهو (أخيل) أن يلحق بالسلحفاة في السباق، في حال أعطيت السلحفاة الافضلية في البدء".
لو قام عداء أسطوري سريع إسمه أخيل بالسباق مع سلحفاة بطيئة بحيث تبدأ السلحفاة من نقطة مختلفة عن نقطة انطلاق أخيل وتقع في مساره بمسافة معينة ! المفارقة تقول أن أخيل لن يستطيع اللحاق بالسلحفاة البطيئة مهما بلغت سرعته لأنه في كل مرة يصل فيها أخيل إلى مكان وصلت إليه السلحفاة تكون هذه الأخيرة قد سبقته إلى موقع متقدم ومهما صغرت المسافة بين أخيل والسلحفاة التي تسبقه فإنها لن تنعدم وفق منظور زينون!
ظلت هذه المفارقة محيرة لعلماء الفلسفة والرياضيات حتى القرن 17م بفضل أبحاث ليبنيز ونيوتن حيث تم اكتشاف أن المفارقة عبارة عن مجموع حدود متتالية هندسية أساسها موجب وأصغر من 1 وبالتالي هي متقاربة أي لها نهاية محدودة ! وبالتالي سيتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة في وقت محدد ومن ثم تأكيد بطلان إجابة زينون !
وهكذا ظهرمفهوم النهاية في المتتاليات ثم انتقل بعد ذلك إلى الدوال العددية عبر مفهوم المسافة والقيمة المطلقة ثم إلى الفضاء القياسي ثم بعد ذلك تم تعيميمها فيما يسمى الفضاء الطوبولوجي واعتماد مصطلح " نهاية بجوار عدد معين" وهكذا تولد مفهوم النهاية في الرياضيات ليفتح الطريق أمام مفاهيم أخرى غاية في الأهمية كالإتصال والإشتقاق والتكامل...!
المصادر: 1 2 3

MathMaroc

الجمعة, أبريل 21, 2017