Table des matières
1 Une introduction au corps des nombres réels 5
1.1 Principales propriétés de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Le corps des nombres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Bornes supérieures et inférieures dans R. . . . . . . . . . . . 7
1.2 Suites réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Définitions, propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Suites de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Suites monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Approximation décimale d’un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Partie entière d’un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Nombres décimaux. Approximation décimale d’un réel. . . . 11
1.3.3 Developpement décimal illimité d’un réel. . . . . . . . . . . . 12
1.4 Topologie de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Voisinages dans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 La droite numérique achevée R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Limites de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Suites réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 Extension de la notion de convergence aux suites complexes. 21
1.5.3 Suites de Cauchy dans C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Fonctions continues 22
2.1 Limites de fonctions et continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Limites de fonctions réelles de variable réelle. . . . . . . . . . 22
2.1.2 Limites particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Fonctions monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.5 Propriétés des applications continues. . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.6 Uniforme continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.7 Limites pour les fonctions à valeurs complexes. . . . . . . . . 31
2.2 Valeurs intermédiaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Monotonie et continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Homéomorphisme d’intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Fonctions dérivables. 36
3.1 Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2 Dérivée logarithmique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.3 Composition de fonctions dérivables. . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.4 Dérivée d’une fonction réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.5 Dérivées succesives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Accroissements finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1 Monotonie et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2 Dérivabilité aux bornes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.3 Fonctions dérivées et valeurs intermédiaires. . . . . . . . . . 46
3.3.4 Les règles de L’Hospital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Convexité. 50
4.1 Parties convexes de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Convexité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Etude locale des fonctions. 54
5.1 Comparaison au voisinage d’un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.1 Prépondérance et négligeabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.2 Equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Développements limités, formules de Taylor. . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.1 Développements limités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.2 Fonction admettant un développement limité. . . . . . . . . 60
5.2.3 Primitivation et dérivation des développement limités. . . . 62
5.2.4 Propriétés opératoires des développement limités. . . . . . . 64
| MathMaroc | الجمعة, أغسطس 28, 2015 |
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