Table des matières
1 Systèmes d’équations linéaires et matrices 7
1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . 16
1.4 Systèmes homogènes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Eléments du calcul matriciel 19
2.1 Quelques définitions et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Le produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Règles du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 L’inversion des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.1 Matrices 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2 Puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Les matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9 La transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Le déterminant 33
3.1 Permutations et déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Méthode pour calculer des déterminants de matrices de taille 2 2 et 3 3 . 36
3.2 Déterminants et opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Les cofacteurs et la règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 Calcul du déterminant par la méthode des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Calcul de l’inverse par la méthode des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.3 Systèmes linéaires : règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 49
4.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Droites et plans dans l’espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5.1 Equation du plan passant par un point P0 et ayant vecteur normal n . . . . . 61
3
4 TABLE DES MATIÈRES
4.5.2 Droites dans l’espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Espaces euclidiens et applications linéaires 65
5.1 Espaces de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.3 Norme et distance dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.4 Représentation matricielle des vecteurs de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.5 Formule matricielle du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.6 Multiplication des matrices et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.1 Rappels sur les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.3 Quelques exemples d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.4 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.5 Composition d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Propriétés des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6 Espaces vectoriels 81
6.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2.1 Espace des solutions d’un système d’équations linéaires homogènes . . . . . . 84
6.3 Combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4 Indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4.1 Interprétation géométrique de la dépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5 Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.6 Espace des lignes et colonnes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.7 Changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.7.1 Changement de bases en 2 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.7.2 Dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7 Produits scalaires généralisés 103
7.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Angles et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2.1 Angle formé par deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3 Bases orthogonales et méthode de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4.2 Changement de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4.3 Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.5.1 Solution approximative d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . 117
8 Diagonalisation des matrices 121
8.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1.1 Calcul des vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2.1 Méthode pour diagonaliser une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3 Matrices symétriques et diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9 Applications linéaires 131
9.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.1.1 Propriétés des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.1.2 Expression d’une application linéaire dans une base . . . . . . . . . . . . . . 134
9.2 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.3 Applications linéaires inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.4 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
TABLE DES MATIÈRES 5
10 Applications multilinéaires et tenseurs 143
10.1 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.1.1 Formes linéaires sur V : tenseurs d’ordre (0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.1.2 Espace dual, bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.1.3 Formes linéaires sur V : tenseurs d’ordre (1; 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.2 Formes multilinéaires sur V : tenseurs d’ordre (0;m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.2.1 Formes bilinéaires sur V : tenseurs d’ordre (0; 2) . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.2.2 Tenseurs d’ordre (0;m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.2.3 Quelques interprétations physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.3 Formes multilinéaires sur V : tenseurs d’ordre (m; 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.3.1 Une remarque sur les tenseurs d’ordre (1; 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.3.2 Formes bilinéaires sur V : tenseurs d’ordre (2; 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.3.3 Tenseurs d’ordre (m; 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.4 Tenseurs mixtes d’ordre (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.4.1 Tenseurs d’ordre (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.4.2 Exemple des tenseurs d’ordre (1; 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.5 Opérations sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.6 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.6.1 Cas des tenseurs d’ordre (1; 0) (vecteurs de V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.6.2 Cas des tenseurs d’ordre (0; 1) (formes linéaires sur V ) . . . . . . . . . . . . . 151
10.6.3 Cas des tenseurs d’ordre (0; 2) (formes bilinéaires sur V ) . . . . . . . . . . . 153
10.6.4 Cas des tenseurs (2; 0) (formes bilinéaires sur V ) . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.6.5 Cas des tenseurs d’ordre (1; 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.6.6 Cas des tenseurs d’ordre (p; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.7 Champs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.7.2 Changements de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.7.3 Cas d’un champ tensoriel d’ordre (1; 0) (champ vectoriel) . . . . . . . . . . . 155
10.7.4 Cas d’un champ tensoriel d’ordre (0; 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.7.5 Cas d’un champ quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
| MathMaroc | الجمعة, أغسطس 28, 2015 |
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