المسلمات في الرياضيات

قال العالم الرياضي جلبرت :
"الرياضيات ليست إلا لعبة يلعبونها وفق قواعد بسيطة مستخدمين في ذلك رموزاً و مصطلحات ليس لها أهمية بحد ذاتها "

يتراءى لك مثل هذا التعريف للرياضيات تعريفاً ذكياً جداً و لكنه غير جدي , في الوقت الذي يحوي هذا التعريف تقويماً عميقاً و صحيحاً للرياضيات و ذلك إذا فهمنا الرياضيات كعلم مؤسس على جملة من المسلمات*

فالمسلمات تعتبر صحيحة لا تتطلب أي برهان لكونها مفهومة وواضحة و ذات بناء منطقي سليم و لا يمكن تعليلها بموضوعات أكثر بساطة ووضوحاً منها - هذا في الماضي -

أما اليوم و في الرياضيات الحديثة فالمسلمات أبعد ما تكون عن الوضوح و البداهة حتى أن بعض المسلمات ليست صحيحة دوماً

فالمسلمات تعكس الخواص الأساسية لنظريات أو لجمل رياضية معينة , و إذا حدث أي شيء غير عادي في المسلمات فإن الجملة التي تدخل فيها هذه المسلمات تنهار تماماً و هذه المسألة لا تحتمل المزاح فكل جملة من المسلمات يجب أن يتحقق فيها الشرطان الأساسيان التاليان :

أولهما : يجب أن تكون تامة و غير متناقضة في داخلها .

ثانيهما : أن تكون جملة المسلمات تامة في حالة احتواءها على ماهو ضروري لبناء رياضي نظري معين تنتمي إليه .

و حتى تكون هذه الجملة غير متناقضة - أي لا تحوي تناقضاً في بناءها - يجب ألا تسمح بإعطاء تقرير حول شيء ما في أنه موجود و غير موجود بالوقت نفسه أو أن هناك بعض الموضوعات صحيحة و غير صحيحة بالوقت نفسه فإذا حدث هذا فإن بناء الجملة المنطقية المؤلفة ينهار مباشرة.

أول من لاحظ المسلمات هو أرسطو - على الأرجح- الذي اعتبر أنه في كل المجالات العلمية توجد قضايا واضحة لدرجة أنها لا تتطلب أي برهان, و هذه القضايا تؤلف جوهر و أساس هذا العلم .

أما إقليدس فهو أول من أنشأ مثل هذه الجملة من المسلمات في الهندسة . و استناداً لهذه المسلمات وضع إقليدس كل النتائج و المفاهيم الهندسية المعروفة في ذلك الوقت و ما تزال معروفة إلى اليوم و هذا ما يدعونا بكل تأكيد على القول إن الهندسة أصبحت علماً استنتاجياً يستند إلى عدد محدود من الموضوعات و تبنى كل النتائج عليها بالتدريج

و الموضوعات الخمس الأولى التي وضعها إقليدس هي :
من نقطتين في المستوي يمكن إنشاء مستقيم واحد يمر منهما ( أو أنهما تحددان مستقيماً وحيداً )

أي مستقيم في المستوي يمكن أن يمتد إلى اللانهاية

من أي نقطة في المستوي يمكن أن تمر دائرة نصف قطرها اختياري

كل الزوايا القائمة متطابقة

إذا قطع مستقيم مستقيمين و كان مجموع الزاويتين الداخليتين أقل من قائمتين فإن المستقيمين يتقاطعان حتماً في ذلك الاتجاه الذي توجد فيه الزاويتين

و مع أن موضوعات إقليدس لم تكن دقيقة أو واضحة تماماً و خاصة الخامسة منها إلا أنها بقيت و حتى القرن التاسع عشر الجملة الوحيدة من الموضوعات في الهندسة المستوية.

لقد حاول العلماء برهنة الموضوعة الخامسة دون جدوى و لكنهم أيضاً لم يستطيعوا دحضها أي برهان خطئها إلى قرروا أخيراً إتخاذ موقف متطرف ألا و هو تجاهل هذه الموضوعة و اعتبارها لم تكن و لقد حصلوا نتيجة هذا العمل على هندسة جديدةلا يوجد في بناءها أي تناقض , بل لقد توصلوا إلى أنه يوجد الكثير من هذه الهندسات المدهشة و في إحدى هذه الهندسات كانت الموضوعة التالية صحيحة :

في المستوي و من نقطة خارج مستقيم يمكن إنشاء مستقيمين موازيين لهذا المستقيم

و في هندسة أخرى كانت الموضوعة :

من نقطة خارج مستقيم لا يمكن رسم أي مستقيم موازٍ للأول

و من ثم فإن مجموع زوايا المثلث يمكن أن تكون أكبر أو أصغر من 180 ْ

هذه الهندسات التي لا تصح فيها الموضوعة الخامسة سميت الهندسات اللاإقليدية.
اليكم مسلمات اقليدس الخمس من هنا.

MathMaroc

الثلاثاء, نوفمبر 25, 2014