تلخيص مادة الهندسة

تابعنا على يوتيوب

تلخيص مادة الهندسة

النقطة : تشير إلى مكان في الفراغ ولا يوجد لها سمك ولا عرض ولا طول .
(لا يوجد لها أبعاد).

صفات المستقيم : ليس له بداية وليس له نهاية من نقطة واحدة يمر ما لا نهاية

من المستقيمات في نقطتين مختلفتين يمر مستقيم واحد فقط على المستقيم ما لا نهاية من النقاط

( القطعة المستقيمة : هي جزء من مستقيم محدود بنقطتين ( أي يوجد لها بداية ونهاية

الشعاع : هو جزء من مستقيم له بداية وليس له نهاية

الزاوية : تنتج عن شعاعين يخرجان من رأس مشترك

الخط المنكسر : مبني من قطع مستقيمة تتصل ببعضها البعض في سلسلة ليست

على استقامة واحدة

المستقيمان المتوازيان :هما المستقيمان اللذان لا يلتقيان أبدا ً أي البعد بينهما ثابت

:انتبهوا

المستقيمان قد يقعان في كل اتجاه، شرط ألا تكون بينهما أي نقطة مشتر

القطعتان المتوازيتان :هما قطعتان واقعتان على مستقيمين متوازيين

المستقيمان المتعامدان: هما مستقيمان متقاطعان يُكونان بينهما زاوية قائمة

:إنتبهوا

المستقيمان قد يقعان في كل اتجاه، شرط أن تكون الزاوية بينهما قائمة

:المضلع

التعريف : هو خط منكسر مغلق

في كل مضلع يوجد :

1. أضلاع : هي القطع المستقيمة التي تركب المضلع

2. رؤوس : هي نقاط الإلتقاء بين كل ضلعين .

3. زوايا : تتكون في كل رأس من رؤوس المضلع .

4. قطر : هو قطعة تصل بين رأسين غير متجاورين في المضلع.

( إنتبه : طبعا المثلث هو مضلع لكنه لا يحتوي على اقطار )

5. عدد الأضلاع = عدد الرؤوس = عدد الزوايا

تصنف المضلعات حسب عدد الأضلاع :

1. المثلثات : ولها 3 أضلاع 3 رؤوس 3 زوايا

2. الأشكال الرباعية : ولها 4 أضلاع 4 رؤوس 4 زوايا

3. الأشكال الخماسية : ولها 5 أضلاع 5 رؤوس 5 زوايا

4. الأشكال السداسية : ولها 6 أضلاع 6 رؤوس 6 زوايا

5. الأشكال السباعية : ولها 7 أضلاع 7 رؤوس 7 زوايا

وهكذا ..........................................

القانون لعدد أقطار المضلع :

( بحيث ان n هو عدد أضلاع المضلع ) n × ( n - 3 )

مثال : مضلع ذو 6 أضلاع له 9 أقطار 9 = 6 × ( 6 – 3 )

القانون لعدد الاقطار من الرأس الواحد :

( بحيث ان n هو عدد أضلاع المضلع ) n - 3

مثال : مضلع ذو 7 أضلاع له 4 أقطار من كل رأس 7 - 3 = 4

الضلعان المتجاوران (في المضلع) :

هما ضلعان في المضلع لهما رأس مُشترك.

مثال: الضلعان A B وَ B C في الشكل الخماسي هذا هما متجاوران لأن لهما

رأسًا مشتركًا B.

الرأسان المتجاوران (في المضلع) :

هما رأسان في المضلع ينتميان إلى نفس الضلع ( أي يربط بينهما ضلع مشترك )

في كل رأس من رؤوس المضلع تتكوّن زاوية للمضلع.

عندما نتحدّث عن زوايا المضلع فإننا نقصد فقط لزواياه الداخلية.

مثال: الرأس A والرأس B هما رأسان متجاوران ينتميان إلى نفس الضلع

بكلمات أخرى الرأس B يجاور الرأس A

الزاويتان المتجاورتان (في المضلع) :

هما زاويتان في المضلع رأساهما متجاوران ( يربط بينهما ضلع مشترك ) .
في المضلع في الرسمة، الزاويتان المعلّمتان ( B∢ وَ C∢ ) هما زاويتان متجاورتان
بكلمات أخرى : الزاوية B تجاور الزاوية C

إنتبهوا: لا يوجد معنى للمصطلحات: ضلعان متقابلان،
رأسان متقابلان وزاويتان متقابلتان في مضلع عدد أضلاعه يختلف عن 4.

الضلعان المتقابلان في الشكل الرباعي :

هما ضلعان لا يوجد بينهما رأس مشترك (غير متجاورين)

الرأسان المتقابلان في الشكل الرباعي :

هما رأسان لا ينتميان إلى نفس الضلع (غير متجاورين).

الزاويتان المتقابلتان في الشكل الرباعي :
هما زاويتان رأساهما متقابلان ( غير متجاورين)

القطر في المضلع :
هو قطعة تصل بين رأسين غير متجاورين في المضلع.

هناك أربع إمكانيات لموقع القطر في المضلع:

أن يقع بكامله في المضلع (الرسمة أ).
أن يقع بكامله خارج المضلع (الرسمة ب).
أن يقع قسمٌ منه في الداخل وقسمٌ منه في الخارج (الرسمة ج).
أن يقع قسم منه على ضلع (الرسمة د).

إنتبهوا ملاحظة مهمة :

في المثلث لا يوجد أقطار لأن كل رأسين فيه هما متجاوران.

المضلع المُحدَّب:

هو مضلع يحوي في داخله كلَّ أقطاره

وهو مضلع كل زاوية داخلية فيه أصغر من °180.

المضلع الغير محدب ( المقعّر ) :
هو مضلع يقع أحد أقطاره خارجه ( فيه زاوية منعكسة أكبر من °180 )

المضلع المنتظِم :
هو مضلع كل أضلاعه متساوية وكل زواياه متساوية.
أمثلة:
قانون لحساب قيمة الزاوية الداخلية في المضلع المنتظم :

       ( بحيث أن n   عدد أضلاع المضلع)              180 × (n – 2)
                                                                              n

قانون لحساب قيمة الزاوية الخارجية في المضلع المنتظم
( تذكر : جميع اضلاعه وزواياه متساوية )

         ( بحيث أن n   عدد أضلاع المضلع)           360
  n

مثال 1 :
في المثلث المتساوي الأضلاع   قيمة الزاوية الداخلية =    °60   = 180 × ( 3- 2)
3

في المثلث المتساوي الأضلاع   قيمة الزاوية الخارجية =            ° 120   =  360
3
مثال  2 :

  في المربع       قيمة الزاوية الداخلية  =              ° 90    = 180 × ( 4 - 2)
                                                                                          4

  في المربع       قيمة الزاوية الخارجية =          ° 90         =    360
                                                                                         4

  في المخمس       قيمة الزاوية الداخلية  =              ° 108    = 180 × ( 5 - 2)
                                                                                         5

  في المخمس       قيمة الزاوية الخارجية =          ° 72     =    360
                                                                                       5
طبعا نستطيع ايضا ان نطرح مقدار الزاوية الخارجية من 180
وعندها نحصل على الزاوية الداخلية :

مثال :                          قيمة الزاوية الخارجية =   ° 72    = 360
                                                           5

                                    قيمة الزاوية الداخلية   =    °     180 - 72 = 108

مثال 3 :
في المضلع المنتظم ذو 15 ضلع  قيمة الزاوية الداخلية
=     ° 156    = 180 × ( 15 - 2)
   15

في المضلع المنتظم ذو 15 ضلع قيمة الزاوية الخارجية =    ° 24      =    360
                                                           15
طبعا نستطيع ايضا ان نطرح مقدار الزاوية الخارجية من 180
وعندها نحصل على الزاوية الداخلية:

مثال :                          قيمة الزاوية الخارجية =   ° 24   = 360
                                                          15
                                    قيمة الزاوية الداخلية   =    °     180 - 24 = 156

الزوايا :
تعريف الزاوية :   تتكوّن من شعاعَين خارجين من نقطة مشتركة.

نُسمي الشعاعين ساقي الزاوية.

النقطة التي يخرج منها الشعاعان تُسمى رأس الزاوية.
الشعاعان الخارجان من رأس مُشترك يكونان زاويتين.
يشير رسم القوس عادة إلى الزاوية التي نقصدها.

كُبْر الزاوية يُحدَّد بحسب مقدار دوران أحد الشعاعين بالنسبة للآخر («الفتحة» بين الساقين).

نُصنّف الزوايا إلى أنواع مختلفة:

الزاوية الحادّة :

هي زاوية أصغر من زاوية قائمة.

مقدار الزاوية الحادة أصغر من ^o 90.

الزاوية المنفرجة :

هي زاوية أكبر من الزاوية القائمة وأصغر من الزاوية المستقيمة.

مقدار الزاوية المنفرجة هو بين ^o 90 و ^o180 (لا يشملهما).

الزاوية القائمة :

هي كل زاوية من الزاويتين الناتجتين من تنصيف زاوية مستقيمة.

مقدار الزاوية القائمة: ^o 90.

في الرسم نُشير عادة إلى الزاوية القائمة هكذا:

يمكن فحص الزاوية القائمة بواسطة قُرنة مستطيلة أيّا كانت

(مثلا، بطاقة مستطيلة) هكذا:

الزاوية المستقيمة :

هي الزاوية التي يُشكِّل ساقاها مستقيمًا.

مقدار الزاوية المستقيمة: ^o 180(لأن الدورة الكاملة فيها ^o 360).

الزاوية المنعكسة :
زاوية المضلع التي رأسها B هي زاوية أكبر من 180⁰ (منعكسة).

المثلثات :
مجموع الزوايا الداخلية في المثلث =   ° 180
تعريف المثلث: هو عبارة عن مضلع ذو 3 أضلاع 3 زوايا 3 رؤوس
ولا يوجد فيه أقطار.
قانون أساسي لبناء مثلث :هو أن يكون مجموع كل ضلعين في المثلث
أكبر من الضلع الثالث.
شرط مكافئ :  أن يكون مجموع أصغر ضلعين أكبر من الضلع الثالث.
مثال 1 : من هذه الاضلاع    4   6   1   لا نستطيع بناء مثلث لأن
                   1 + 4 < 6
مثال 2   : من هذه الأضلاع      3   5     7   نستطيع بناء مثلث لأن     3 + 5 > 7

تصنيف المثلثات حسب الأضلاع :
مثلث متساوي الساقين :
تعريف : هو مثلث فيه ضلعان متساويان في الطول.
الضلعان المتساويان في المثلث المتساوي الساقين يُسميان الساقين والضلع الثالث يُسمى القاعدة.
إنتبهوا: القاعدة قد تكون أطول من الساقين، أو أقصر منهما أو تُساويهما في الطول.

أمثلة لمثلثات متساوية الساقين:
ملاحظة: الكلمتان "قاعدة" و"ساق" نستخدمهما فقط في سياق الحديث عن المثلث
المتساوي الساقين.
في المثلث المختلف الأضلاع لا يوجد أي سبب لتخصيص أحد الأضلاع وتسميته
بالساق أو القاعدة.

مثلث متساوي الأضلاع :
هو مثلث كل أضلاعه متساوية في الطول.
إنتبهوا: المثلث المتساوي الأضلاع هو، حالة خاصة من المثلث المتساوي الساقين.

مثلث مختلف الأضلاع :
هو مثلث أضلاعه مختلفة في أطوالها.

تصنيف المثلثات حسب الزوايا :
مثلث حاد الزوايا :
هو مثلث كل زواياه حادّة.
أحيانًا نُسمي هذا المثلث "مثلث حاد الزاوية".
نقصد من المصطلحين – "مثلث حاد الزوايا" و"مثلث حاد
الزاوية" - نفس المثلث الذي فيه كل الزوايا حادة.

مثلث قائم الزاوية :
هو مثلث فيه زاوية قائمة.
في المثلث القائم الزاوية توجد فقط زاوية قائمة واحدة، والزاويتان الأخريان دائمًا حادّتان.

في المثلث القائم الزاوية : نُسمي كل ضلع من ضلعي الزاوية القائمة الضلع القائم،
والضلع الذي يُقابل الزاوية القائمة الوتر.

مثلث منفرج الزاوية :
هو مثلث فيه زاوية منفرجة.
في المثلث المنفرج الزاوية توجد فقط زاوية منفرجة واحدة، والزاويتان الأخريان دائمًا حادّتان.

الجدول الآتي يُمكِّن من التصنيف بحسب الطريقتين معًا - بحسب الأضلاع وبحسب الزوايا

الإرتفاع :
تعريفه : هو قطعة مستقيمة أحد طرفيها موجود في أحد الرؤوس , وطرفها الآخر
على الضلع المقابل أو على امتداده وهو عمودي على هذا الضلع .
في بعض المثلثات قد يكون الضلع نفسه هو أيضا ً ارتفاع .

· في المثلث توجد 3 ارتفاعات يرمز للارتفاع بالحرف h

· لكل مثلث 3 ارتفاعات ، توجد نقطة مشتركة للارتفاعات الثلاثة أو امتداداتها .

مساحة المثلث     =   الضلع × الإرتفاع النازل على هذا الضلع   ×
محيط المثلث =    مجموع أضلاعه الثلاثة .
مساحة مثلث قائم الزاوية =      الضلع القائم × الضلع القائم ×

  الأشكال الرباعية :

تعريف : هي مضلعات لها 4 أضلاع   4 رؤوس 4 زوايا و َ 2   أقطار

مجموع الزوايا الداخلية في الشكل الرباعي هو   °360

نُميِّز بين أشكال رباعية خاصّة - متوازي الأضلاع، الدلتون، المُعين،
المستطيل، المربع، شبه المنحرف

وبين   أشكال رباعية غير خاصّة، أي أنها لا تنتمي إلى أحد الأنواع السابقة.

متوازي الأضلاع :

تعريفه : هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متساويان.

تعريف مكافئ : "هو شكل رباعي فيه زوجان من ضلعين متقابلين متوازيين".

صفات متوازي الأضلاع:

كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متوازيان (هذا هو أيضا مصدر الاسم

"متوازي أضلاع").

كل زاويتين متقابلتين فيه متساويتان.

قطراه يُنصِّف أحدهما الآخر (أي أن كل قُطر يقسم الآخر إلى قسمين متساويين).

فيه تماثل دوراني مركزه نقطة تقاطع قُطريه.

مساحة متوازي الاضلاع = الضلع × الإرتفاع النازل على هذا الضلع
محيط متوازي الأضلاع = مجموع أضلاعه

الدالتون :
هو شكل رباعي فيه زوجان منفردان من ضلعين متجاورين متساويين.

الرأس الموجود بين ضلعين متساويين في الدلتون يُسمى رأسًا رئيسيًا.
في الدلتون يوجد رأسان رئيسيان.
زاوية الدلتون التي رأسها " رأسًا رئيسيًا" تسمى "زاوية رئيسية"
القطر الذي يصل الرأسين الرئيسيين في الدلتون يُسمى القطر الرئيسي،
بينما يُسمى القُطر الآخر القُطر الثانوي.

صفات الدلتون:

زاويتاه الجانبيتان متساويتان.
قطراه متعامدان.
قطره الرئيسي يُنصّف قطره الثانوي.
قُطره الرئيسي يقسم الدلتون إلى مثلثين متطابقين.
فيه تماثل انعكاسي بالنسبة لقطره الرئيسي.
قُطره الثانوي يُكوِّن في الدلتون مثلثين متساويي الساقين، قاعدتهما

(إذا كان الدلتون غير محدب، يقع أحد المثلثين داخل الآخر).
المشتركة هي القطر الثانوي.

المُعيّن :

تعريفه : هو متوازي أضلاع خاص وأيضًا دلتون خاص.

لذلك فيه كل صفات الدلتون وصفات متوازي الأضلاع، بالإضافة إلى صفاتٍ
خاصة به.

صفات المُعيّن:

كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.

كل زاويتين متقابلتين فيه متساويتان.

قطراه متعامدان.

قطراه ينصّف أحدهما الآخر.

كل قُطر فيه ينصف زاويتين متقابلتين.

فيه تماثل انعكاسي بالنسبة لكل قطر من قطريه.

فيه تماثل دوراني؛ مركز التماثل هو نقطة التقاء قطريه.

كل قُطر يقسم المعين إلى مثلثين متساويي الساقين متطابقين.

مساحة المعين =  بما انه متوازي أضلاع خاص لذلك يمكننا حساب
مساحته كما نحسب مساحة متوازي الأضلاع  أي :  الضلع × الإرتفاع النازل
على هذا الضلع

كذلك يمكننا حساب مساحة المعين =    حاصل ضرب القطرين
                                                                      2
محيط المعين =  مجموع أضلاعه

المستطيل:
هو شكل رباعي كل زواياه قائمة.

المستطيل هو متوازي أضلاع خاص، ولذلك فيه كل صفات متوازي الأضلاع
بالإضافة إلى صفاتٍ خاصة به.
صفات المستطيل:

كل ضلعين متقابلين فيه متساويان.

كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.

4 زوايا متساوية، قوائم.

قطراه متساويان.

قطراه ينصف أحدهما الآخر.

كل قطر فيه يقسم المستطيل إلى مثلثين قائمي الزاوية ومتطابقين

فيه تماثل دوراني؛ مركز التماثل هو نقطة التقاء القطرين.

فيه تماثل انعكاسي؛ فيه خطّا تماثل يمران في منتصفات الأضلاع المتقابلة

مساحة المستطيل = الطول × العرض

محيط المستطيل = مجموع أضلاعه

المربع:

هو شكل رباعي كل أضلاعه متساوية وكل زواياه قائمة.

المربع هو شكل رباعي منتظم؛ المربع أيضًا هو متوازي أضلاع خاص،
وكذلك مستطيل خاص ودلتون خاص ومعين خاص. لكل مربع توجد صفات
متوازي الأضلاع، المستطيل، الدلتون والمعين بالإضافة إلى صفات خاصة به.

صفات المربع: فيه زوجان من ضلعين متقابلين متوازيين.

فيه 4 زوايا متساوية، قوائم ( كل زاوية قيمتها °90 )

قطراه متساويان.

قطراه متعامدان.

قطراه ينصّف أحدهما الآخر.

فيه تماثل انعكاسي؛ فيه 4 خطوط تماثل.

فيه تماثل دوراني؛ مركز التماثل هو نقطة التقاء قطرية.

كل قُطر من قُطريه يقسم المربع إلى مثلثين متطابقين، كل منهما قائم الزاوية
ومتساوي الساقين.

مساحة المربع = الضلع × نفسه
محيط المربع = مجموع أضلاعه

شبه المنحرف :
هو شكل رباعي فيه فقط زوج واحد من ضلعين متوازيين.
نُميّز في أضلاع شبه المنحرف بين قاعدتين وساقين:
القاعدتان - هما الضلعان المتوازيان.
الساقان - هما الضلعان الآخران (أي: الضلعان المتقابلان غير المتوازيين).

شبه منحرف قائم الزاوية :

هو شبه منحرف أحد ساقيه عمودي على القاعدتين.

شبه منحرف متساوي الساقين :
هو شبه منحرف ساقاه متساويان.
صفات شبه المنحرف المتساوي الساقين:

قُطراهُ متساويان.

الزاويتان بين الساقين وكل قاعدة من القاعدتين متساويتان.

فيه تماثل انعكاسي ؛ خط تماثله يمر في منتصفي قاعدتيه.

مساحة شبه المنحرف =  مجموع القاعدتين × الإرتفاع ×
محيط شبه المنحرف =  مجموع أضلاعه

الأقطار في المضلعات الرباعية الخاصة

اسم المضلع	القطران متساويان بالضرورة	القطران متعامدان بالضرورة	القطران ينصف كل منهما الآخر بالضرورة
متوازي الأضلاع	كلا	كلا	نعم
الدالتون	كلا	نعم	كلا(القطر الرئيسي ينصف القطر الثانوي فقط )
المعين	كلا	نعم	نعم
المستطيل	نعم	كلا	نعم
المربع	نعم	نعم	نعم
شبه المنحرف متساوي الساقين	نعم	كلا	كلا